Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пространство элементарных событий -
Q = {ММ, МД, ДМ, ДД},
где МД означает, что старший ребенок - мальчик, младший-• девочка и т. д.
Будем считать, что каждый исход равновозможен:
Р (ММ) = Р (МД) = Р (ДМ) = Р (ДД) =
Пусть Л-событие "старший ребенок - мальчик", В -"младший ребенок -
мальчик". Тогда Лий есть событие "по крайней мере один из детей -
мальчик", АВ "оба ребенка - мальчики" и интересующая нас в вопросе а)
вероятность есть условная вероятность Р (АВ J А), а в вопросе Ъ) -
условная вероятность Р (АВ j A [J В).
30
ГЛ. I ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
Легко находим, что
Р (АВ 1 А) ^- L
г (ла | А) - р(Л) - 1/2 - 2 ,
Р I A R ' /] I I /эч_ Р (А В) УФ 1_
Р (/45 ; А и 5) р (4 и В) - 3/4 з •
2. Следующая простая, но важная формула (3), носящая название формулы
полной вероятности, является основным средством при подсчете вероятностей
сложных собьпий с использованием условных вероятностей.
Рассмотрим некоторое разбиение Ж = {Аи Ап) с Р (Л,-) > >0, i = 1, п
(часто таксе разбиение называют также полной группой несовместимых
событий). Ясно, что
В = В /4 ^ В А,г
и, значит,
Р (5) = У] Р (5/1;).
t = 1
Но
Р (ВАг) = Р (В \ At) Р (/1;).
Тем самым имеет место формула полной вероятности
р (В) = % Р (В i А-) р (Л,-). (3)
1'Ж
В частности, если 0 < Р (A) <i 1, то
Р (В) = Р (В | Л) Р (/1) + Р (В ! Л) Р (Л). (4)
Пример 2. В урне имеется /VI шаров, среди которых т "счастливых".
Спрашивается, какова вероятность извлечь на втором шаге "счастливый" шар
(предполагается, что качество первого извлеченного шара неизвестно,
рассматривается случай выбора без возвращения объема /1 = 2 и все исходы
равновозможны). Пусть А - событие "первый шар - счастливый", 5 - "второй
шар - счастливый". Тогда
т (т - 1)
п / п I л \ Р {В А) Ai (Ai 1) rn 1
Р{В\А) = -рщ- = й
Ж
т(М - т)
р/д Щ_Р<ВЛ> _М(М-\) _ т '¦! ' Р (Л) М-т М - 1
М
§ 3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ НЕЗАВИСИМОСТЬ
37
И
Р (В) = Р (В I А) Р (Л) + Р (В! А) Р (Л) = т- 1 т , т М - т_т - дГТГ ' 7и
+ лГ^Т ' ~м~ ~ м'
Интересно отметить, что вероятность Р (Л) также равна т/М. Таким образом,
то обстоятельство, что качество первого шара осталось неизвестным, не
изменило вероятности того, что извлеченный на втором шаге шар оказался
"счастливым".
Из определения условной вероятности (Р(Л)>0)
Р(АВ) = Р(В\ А)Р(А). (5)
Эта формула, носящая название формулы умножения вероятностей, обобщается
(по индукции) следующим образом: если события Лг, Ап^ таковы, что Р
(Лх... Л,,^) > 0, то
Р (Л,... Ап) = Р (Лф Р (Л2! Аг)... Р (А" А,... А,,.,) (6)
(здесь Ау... Ап = Л1П АгП ...П Ап).
3. Предположим, что события Л и В таковы, что Р(Л)>0 и Р(Б)>0. Тогда
наряду с (5) справедлива также формула
Р (АВ) = Р (Л i 5) Р (В). (7)
Из (5) и (7) получаем так называемую формулу Байеса
р(Л;В)== (8)
Если события Alt ..., Ап образуют разбиение Q, то из (3) и (8) следует
так называемая теорема Байеса
р {At\B)= -/(Л)Р-<- (9)
2Р(Л,-)Р(В|Л/)
/= 1
В статистических применениях события Alt ..., Ап (Л1 + ... . .. + Л" =
?2) часто называют "гипотезами", а Р (Л,) - априорной *) вероятностью
гипотезы Л,-. Условная вероятность Р(Л,-|?) трактуется как апостериорная
вероятность гипотезы Л,- после наступления события В.
Пример 3. Пусть в урне находятся две монеты: Л! -симметричная монета с
вероятностью "герба" Г, равной 1/2, и Аг - несимметричная монета с
вероятностью "герба" Г, равной 1/3. Наудачу вынимается и подбрасывается
одна из монет. Предполо-
*) A priori-до опыта, a posteriori -после опыта.
38
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
жим, что выпал герб. Спрашивается, какова вероятность того, что выбранная
монета симметрична.
Построим соответствующую вероятностную модель. В качестве пространства
элементарных событий естественно здесь взять множество Q = {, ЛХР, Л.,Г,
Л2Р}, описывающее все исходы выбора и подбрасывания (ЛХГ означает, что
вынута монета Лх и в результате подбрасывания выпал герб и т. д.).
Вероятности р (со) рассматриваемых исходов должны быть заданы так, чтобы,
согласно условиям задачи,
Р(Л1) = Р(Лг)=1/2
и
Р (Г |ЛЛ =1/2, Р(Г|Ла) = 1/3.
Этими условиями вероятности исходов определяются однозначно: Р(Л1Г) =
1/4, Р(Л1Р)=1/4, Р (Л2Г) = 1/6, Р (ЛаР) = 1/3.
Тогда, согласно формуле Байеса, интересующая нас вероятность
Р (А \ ГЛ = _______Р (-4i) Р (Г ! 3
V 1! ' Р(/11)Р1Г|Л1)+Р(Л3)Р(Г)Л2) 5
и, значит,
Р (Ла j Г) = 2/5.
4. Вводимое в этом пункте понятие независимости играет в определенном
смысле центральную роль в теории вероятностей: именно это понятие
определило то своеобразие, которое выделяет теорию вероятностей в общей
теории, занимающейся исследованием измеримых пространств с мерой.
Если Л и Б-два события, то естественно сказать, что событие В не зависит
от Л, если знание того обстоятельства, что совершилось событие Л, никак
не влияет на вероятность совершения события В. Иначе говоря, "В не
зависит от Л", если
Р (Б | Л) = Р (В) (10)
(здесь мы предполагаем, что Р (Л) >- 0).
Поскольку
Р(Б[Л)=^,
