Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Г Г
проективной плоскости = 1, тогда как У^рд. (mod 2) = 3.
к=О к=0
Поэтому при использовании обычных чисел Бетти неравенст-
Г
во (3.3.5) для общего числа критических точек т = дает на-
fc=o
равенство
т ^ 1;
подстановка же в формулу (3.3.5) Pk (mod 2) приводит к более точной оценке.
т ^ 3.
Полученное выше неравенство относится к невырожденным критическим точкам. Они будут справедливы и для вырожденных точек, если под Шк подразумевать сумму кратностей геометрически различных критических точек типа к. Это заключение довольно очевидно, поскольку «шевелением» параметров можно превратить вырожденную
Теория Морса и ассоциированные вопросы
107
критическую точку в близко лежащие невырожденные, так что число образовавшихся в результате «шевеления» невырожденных точек будет равно кратности вырождения исходной точки. Оценка числа геометрически различных критических точек на основе топологических характеристик многообразия требует привлечения более сложных понятий алгебраической топологии, и мы этим здесь заниматься не будем. Некоторые относящиеся к этой проблеме результаты изложены в цитированной выше книге Эльсгольца [23].
Наконец, заметим, что неравенства Морса используют не всю информацию о структуре групп гомологий, а только числа Бетти (за «бортом» остаются коэффициенты кручений). Поэтому топологические оценки числа критических точек в ряде случаев наверняка могут быть улучшены по сравнению с неравенствами Морса (учет кручений см. в монографии Эльсгольца).
Заключая этот параграф, подчеркиваем то замечательное обстоятельство, что топологические свойства многообразия, на котором задана функция, определяет некоторые ее «обязательные» особенности. Этот факт будет использован ниже для оценки числа полюсов функции, ме-роморфной в некоторой области (разд. 3.5). Предварительно мы остановимся на другом следствии неравенств (3.3.6) — теореме Пуанкаре-Хопфа для векторных полей на многообразии.
3.4. Теорема Пуанкаре—Хопфа в индексах векторного поля
Пусть на многообразии задано дифференцируемое векторное поле Аі(х), x=(xi, ... , х„), і=I, 2, ... Вблизи точки х° вектор поля Ai(Xa) может быть представлен в виде:
ЯА(т°А
Ai(X) = Ai(xG) H--J~oJ~ dxj. (3.4.1)
Если Ai(ж0) ф 0, то ясно, что при обходе вокруг точки х° поворот вектора Ai(X) будет мал, если достаточно мал dxj. При полном обходе
108
Глава З
вокруг ж0, т. е. при повороте вектора на угол в двумерном случае, вектор Ai(ж) не повернется. Если же Ai(ж0), то
Аі(х) = dAaf] dxj (3.4.2)
и вектор Аі(х) будет поворачиваться вместе с dxj. При полном обходе вокруг х° он повернется на ±12 (П — полный телесный угол в плоскости, содержащей ж0; в двумерном случае П = 2п), если det{OAi(х°)/d'jpj } ф 0, т. е. если точка х° невырождена (если степень вырождения равна т, то полный поворот вектора Ai (х) будет иметь кратность ш). Таким образом, нули векторного поля являются его особыми точками: направление вектора в такой точке однозначно не определено. Будем для простоты рассматривать невырожденные особые точки (напомним, что вырожденная точка может быть «шевелением» параметров переведена в невырожденную) и выясним вопрос о знаке угла поворота Ai(ж) относительно угла поворота dxj. Легко понять, что он определяется знаком det{c?Aj^°)/cfcc®}, который по предположению, не равен нулю, так как точка х° невырожденная. В самом деле, вектор Ai (ж) получается из dxj линейным преобразованием с матрицей {дАі(х0)/дх®}. Если детерминант этого преобразования положителен, то системы ортов в пространствах А,- и dxj ориентированы одинаково, а следовательно, одинаково определены и положительные направления отсчета углов. Если же det{сМ; (ж0)/дх®} < 0, то положительным направлениям отсчета углов в пространстве dxj отвечают отрицательные направления в пространстве Аі(ж). Рис. 36 иллюстрирует сказанное на примере двумерного поля.
Введем важное понятие. Индексом невырожденного нуля ж0 векторного поля А(ж) называется знак детерминанта det{3Aj(х°)/дх®}. Разумеется, можно определить индексы полюсов векторного поля; примерами полюсов векторных полей могут служить электрическое поле кулоновского центра, магнитное поле линейного тока.
Пусть в некоторой локальной системе отсчета Aj = aj/r, где dj — вектор, регулярный при г —> 0. Тогда вблизи полюса, т. е. при доста-
Теория Морса и ассоциированные вопросы 109
Рис. 36. Направление осей и отсчета углов в пространствах dx и А при Aet{dAi(x0)/dx0j} < 0.
точно малом r(x°) = 7?, мы можем написать, сохраняя только старшие члены, следующее равенство:
Ai(X) = dxj\ г? = (3.4.3)
T0 Го
Поэтому при г -» 0 и А,-(х°) -» оо вектор Аі(х) будет поворачиваться вместе с dxi, как и в случае нуля поля (А*(ж0) = 0), рассмотренном выше.
До сих пор мы имели дело с невырожденными особыми точками. В общем случае индекс особой точки выражается через другую величину — степень отображения. Рассмотрим отображение сферы Sn-1 (dx)
$>х’)2=?<
на сферу 5П-1(А) единичного вектора А = (l-^l2 =?l-^*|2)>
