Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно сказанному выше, эти числа задаются с точностью до общего множителя (?; = Ах*). Легко установить гомеоморфность области п-мерного проективного пространства, содержащей точки с координатой ?„+i ф 0, евклидову п-мерному пространству. Указанный гомеоморфизм устанавливается равенствами:
Для случая п+ 1 = 2 этот гомеоморфизм иллюстрируется рис. 34.
Равенство (2.6.96) при ?п+1 ф 0 сопоставляет каждой точке ? = (?i, ... , ?„+i) точку х = (хх, ... , хГ1). Напротив, каждой точке х = (агі, ... , хп) при ?n+i ф 0 однозначно соответствует точка ? = (х\, ... , хп, 1). Однозначность соответствия х —>¦ ? нарушается при ?„+1 = 0; в этом случае точкам Ax отвечает одна точ-
Rt01 U М{1 = Nrx1, Rr01 П М" = Sn-1
(2.6.95)
? = (6) ••• ,6»+і)-
(2.6.96)
88
Глава 2
Рис. 34. Соответствие между точками ?г ф 0 двумерного проективного пространства (?1, ?2) и одномерного евклидова пространства х.
ка проективного пространства ? = (Aari, Ax2, ... , Xxn, 0), поскольку кратные координаты ? u А определяют в проективном пространстве одну точку. Рассмотрим теперь простейшее клеточное разбиение п-мерной проективной плоскости. Клеткой п-измерений, т. е. многообразием, гомеоморфным открытому п-шару, является, очевидно, вся проективная плоскость за вычетом граничного многообразия (?1,... , ?п,0), отвечающего бесконечно удаленным точкам. Клетка а„_і размерности п — 1 есть многообразие (?1, ... , ?п Ф 0,0); многообразие же (<fx, • • • , ?ri — 0,0) является граничным многообразием клетки ап_і. Продолжая эту процедуру далее, мы приходим к следующему заключению: п-мерная проективная плоскость разбивается на п+1 клеток по одной клетке аг каждой размерности г = 0, 1, ... , п. При этом формула клеточного разбиения такова:
аг = (?ъ - - • , Cr Ф 0, O1^1O). (2.6.97)
п—Г
Из этого следует, что все цепи Lr(Nx) одночленные:
lr(N?) = агаг. (2.6.98)
Для вычисления Hr(Nn) требуется вычислить только Aar. Геометрической границей клетки аг является сфера Sr"1. Ho так как двум диаметрально противоположным ее точкам отвечает одна и та же точка проективной плоскости, то
Aar = Sr-1 + Er-ISr-1,
(2.6.99)
Теория гомологий 89
где єг_і — коэффициент инцидентности. Этот коэффициент равен ±1 в зависимости от того, имеют ли отождествляемые диаме-
трально противоположные участки Sr_1 (клетки) одинаковую ориентацию (єг = +1) или противоположную (єг == —1). Напомним, что клетки считаются ориентированными одинаково или противоположно, если системы декартовых осей на них переводятся друг в друга преобразованиями с детерминантами +1 или — 1 соответственно. Детерминант преобразований х —х (х € Sr-1) равен +1, если г четно и —1, если г нечетно. Таким образом
Er-! = (-1)г (2.6.100)
Aar = (I + (-Insr-1. (2.6.101)
Иначе говоря, все цепи нулевой и нечетных размерностей являются циклами (AIr = 0, г нечетно), цепи же четной размерности циклами не являются (AIr ф 0, г четно). Отсюда следует, что группы размерности Cr(Ni) = О отсутствуют и, таким образом,
Hr(Nf)^O, г = 0, 2, 4,... ,г<п. (2.6.102)
Среди циклов нечетной размерности гомологичны нулю те, у которых коэффициенты аг в выражении (2.6.98) являются четными чисЛйми (см. равенство (2.6.101). В итоге получаем
Hr(NT)=Z2, г = 1, 3, , г < п. (2.6.103)
Наконец,
четно,
нечетно; (2.6.104)
H0(NT) = Z.
Формулы (2.6.102)-(2.6.104) приводят к следующим значениям Pr(Ni) • Po(NT) = 1,
Pr(NT) = 0, О < г < п, (2.6.105)
PnW) = 1(1 + (-I)"+1).
90
Глава 2
Легко подсчитать группы гомологий Hr(Nx) по mod 2. Для чисел Бетти имеем
Pr(Nx) (mod 2) = 1, г = 0, 1, ... , п.
(2.6.106)
Для вычисления Pr(MJt) по схеме (2.6.95) с помощью формулы сложения (2.6.62) нужно только установить ранги р'г подгрупп гомологий связывающих циклов. Единственный же гомологичный нулю цикл, лежащий в пересечении — это само пересечение, т. е. сфера Sn-1. Она гомологична нулю в R”, но она негомологична нулю в М", если п — 1 нечетное число. Таким образом
Числа Бетти п-мерного листа Мёбиуса по mod 2 вычисляются также, с той лишь разницей, что р'г = 6Г, п-Х вне зависимости от четности п. Тогда мы получаем
Зная Pr(Nx) Upr(M^)1 с помощью теоремы сложения (2.6.62) можно легко найти числа Бетти других п-мерных не ориентируемых многообразий типа п-мерной сферы с тп листами Мёбиуса М[1 и т. п.
Заметим, что топологические свойства n-мерных проективных и неориентируемых многообразий могут иметь непосредственное значение для физических приложений. Это относится, во-первых, к объектам типа монополя Дирака или солитоноподобных решений с топологическим зарядом и, во-вторых к релятивистским волновым функциям
0 п — четно,
6r<Ti-X п — нечетно.
(2.6.107)
Используя теперь формулу (2.6.62), находим
1
0
г = 0,
0 < г < п — 2,
i(l + (-l)"+1) Г = П- I,
(2.6.108)
0 г = п.
(2.6.109)
Теория гомологий
91
системы нескольких частиц на «световом фронте» (так называется многовременная волновая функция, становящаяся одновременной на световом конусе Xq — X2 = 0). К этим проблемам мы вернемся позже.
