Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
TTi0 + TTI1 + TTIp > 2g+ I + 2; (3.5.9)
TTi0-TTi1+TTip = x(Pg) =2-2g-l. (3.5.10)
3.6. Риманова поверхность алгебраической функции (формула Римана—Гурвица)
В этом параграфе мы выразим эйлерову характеристику римано-вой поверхности алгебраической функции одной переменной через число листов и порядки ветвления точек ветвления. Поскольку римановы поверхности алгебраических функций одной переменной являются ориентируемыми двумерными многообразиями без края, то эйлерова характеристика полностью определит топологические свойства рассматриваемой римановой поверхности.
116
Глава З
Пусть q есть точка ветвления и Iq ее порядок ветвления (Iq > 1 — целое число; Iq = 1 отвечает регулярной неветвящейся точке q). Напомним, что алгебраическая функция имеет конечное число точек ветвления и все они конечного порядка (Iq < оо). Введем число nq, равное числу точек римановой поверхности «над </», т. е. числу значений алгебраической функции и = f(z) в точке z = q. Если бы q была регулярной
точкой (Iq = 1), то, очевидно n(q) было бы равно числу листов п. Если же q является точкой ветвления (Iq > 1), то пд связано с числом листов Tl и порядком ветвления Iq простым соотношением:
Tl = Tlglq. (3.6.1)
Это равенство получается следующим образом. В окрестности изолированной точки ветвления q аналитическая функция f(z) может быть представлена в виде:
OO
/(z) = f(q) + cfc(z - Я)к/'я • (3-6.2)
fc=i
Согласно определению число значений f(q) есть nq; число же значений второго слагаемого в формуле (3.6.2) равно числу значений кор-1/
ня (z — q), т. е. Iq. Отсюда следует, что общее число значений функции f(z) во всякой точке z, не являющейся точкой ветвления, т. е. число листов п функции f(z), равно произведению Tiq • Iq, как это и записано равенством (3.6.1).
Допустим теперь, что область Mz комплексной плоскости z, в которой задана наша функция f(z), разбита на клетки, причем числа нульмерных клеток (вершин), одномерных клеток (ребер) и двумерных клеток (граней) равны соответственно Kq(Mz), Ki(Mz) и K2(Mz). Будем считать, что все точки ветвления, лежащие в Mz, являются вершинами клеточного разбиения. Это будет означать, что ни одна из точек ветвления не лежит на ребрах или гранях нашего клеточного разбиения (напомним, что все клетки являются открытыми шарами и не содержат своих границ, т. е. ребра — вершин, а грани — ребер и вершин). Клеточное разбиение Mz индуцирует клеточное разбиение римановой поверхности M рассматриваемой функции. Согласно сказанному, числа
Теория Морса и ассоциированные вопросы
117
ребер Ki(M) и граней K2(M) индуцированного клеточного разбиения римановой поверхности M дают соотношения
Здесь суммы по q распространены на все точки ветвления. Используя далее равенство (3.6.1), мы можем переписать выражение (3.6.4) в следующей форме:
С помощью формул (3.6.3) и (3.6.5) получаем соотношение между эйлеровыми характеристиками х(М) римановой поверхности M и х(М2) области Mz комплексной плоскости z:
Это и есть формула Римана-Гурвица. Для алгебраической функции областью Mz может быть вся комплексная плоскость, гомеоморфная сфере (сфера Римана; формула (3.6.6) была написана Риманом имено для этого случая). Для функции же, имеющей не только корневые, но и логарифмические точки ветвления, Mz есть область, содержащая корневые и не содержащая логарифмические точки ветвления. В этом случае, очевидно, Mz гомеоморфно сфере с некоторым числом дырок. Заметим, что сумму в формуле (3.6.6) формально можно считать распространенной на все точки области q, так как для регулярных (неветвящихся) точек Iq — 1 = 0 и эти точки фактического вклада в указанную сумму не дадут.
Kr(M) = TiKr(Mz); г = 1, 2.
(3.6.3)
Что же касается числа вершин, то оно, очевидно, будет равно
K0(M)=U K0(Mz)-YtI +?
(3.6.4)
Я
я
K0(M) = TIK0(Mz) - Y ng(lg - 1).
(3.6.5)
Я
(3.6.6)
я
118
Глава З
3.7. Размерность пространства мероморфных функций (формула Римана—Роха)
Совокупность всех мероморфных функций, имеющих полюса кратностей, не превышающих заданных целых чисел mi, m2, .. ¦ , me~i, ms соответственно в фиксированных точках zi, Z2, ... , ze-i, Zs = 00 комплексной плоскости переменной z, образует линейное пространство размерности
l = m+1, (3.7.1)
где
8
т = E m* (3.7.2)
1=1
есть сумма кратности полюсов. Действительно, произвольная функция такого типа может быть представлена в виде:
TTX8 e —1 ТПі
/(2O - E a^r + ЕЕ (z Jz '.)ki ¦ (3.7.3)
r=0 i=l fci=l ^ Zl>
Ясно, что линейная комбинация функций (3.7.2), отличающихся коэффициентами аг и atj, но характеризующихся теми же Z; и ш,, будет опять-таки функцией типа (3.7.3). Каждая функция (3.7.2) при фиксированных Zi и mi однозначно определяется заданием I «координат», т. е. чисел
CXq1 *. • , G-Tns і ?*1, Ii ••• і ^1,шії —1,1э • • • і 1, ш5_1 •
Любые I + 1 функций типа (3.7.3) обязательно линейно зависимы. Все
сказанное равнозначно утверждению, что рассматриваемые мероморф-ные функции образуют линейное пространство размерности I, определяемой равенством (3.7.1).
