Лекции по топологии для физиков - Шапиро И.С.
Скачать (прямая ссылка):
Теория Морса и ассоциированные вопросы
113
Уже упоминавшимся ранее следствием теоремы Пуанкаре-Хопфа является также и тот факт, что аналитическая функция одного переменного, голоморфна во всей комплексной плоскости, не может быть отлична от константы. В самом деле, действительная и мнимая части такой функции должны быть гармоническими функциями во всей плоскости. Критические точки отличной от константы гармонической функции двух переменных могут быть только седловыми точками типа к = 1 (см. разд. 3.1, формулу (3.1.6)). Следовательно, согласно формуле (3.4.4) все индексы особых точек градиента гармонической функции отрицательны. С другой стороны, комплексная плоскость го-меоморфна сфере S2, эйлерова характеристика которой положительна (х(52) = 2). Таким образом, существование отличной от константы аналитической функции, голоморфной во всей комплексной плоскости z, противоречило бы формуле Пуанкаре-Хопфа (3.4.6).
3.5. Оценка числа полюсов аналитической функции
Неравенства Морса для числа критических точек относятся к действительным функциям действительных переменных. Они, однако, могут быть использованы для оценок числа полюсов и нулей аналитической функции f(z) комплексной переменной z, если вместо самой функции f(z) рассматривать действительную функцию:
Вблизи нуля или полюса мероморфной в некоторой области функции f(z) функция U может быть представлена в виде:
где тп — кратность нуля (тп > 0) или полюса (т < 0), а (р(х, у) — гармоническая в окрестности Zi функция двух переменных. Легко видеть, что точка z — Zi будет играть роль критической точки функции U: при тп > 0 — роль минимума, при тп < 0 — роль максимума. То обстоятельство, что U обращается к точке z\ в бесконечность, для наших целей несущественно. Поскольку Zi — изолированная точка, мы можем, окружив ее некоторой достаточно малой окрестностью радиуса є,
U(x, у) = ln|/(z)|; z = x + iy.
(3.5.1)
U = mln|z - ziI + (p(x, у),
(3.5.2)
114
Глава S
«регуляризовать» функцию U в этой точке, т. е. заменить U на функцию U, конечную В точке Zi и имеющую в ней минимум, если (тп > 0) или максимум (тп < 0). Используя затем теорию Морса применительно к регуляризованной функции U, мы получим для нее оценки снизу для чисел критических точек, которые, очевидно, будут справедливы и для U, т. к. топологические свойства областей меньших значений будут одинаковы для обеих функций при любом сколь угодно малом радиусе є упомянутой окрестности логарифмического полюса z\. Отметим, что тп-кратный полюс или нуль функции f(z) будет при этом выступать как простой (некратный) максимум или минимум функции U.
Нам остается теперь лишь применить соотношения (3.3.6) к функции двух переменных. Многообразием, характеризуемым числами Бетти рг, является в рассматриваемом случае область мероморфности функции f(z). Тогда из формулы (3.3.6) получаем следующие соотношения:
Здесь то — суммарное число нулей f(z) и минимумов функции U, не ЯВЛЯЮЩИХСЯ нулями f(z)-, TTli - число седловых точек функ-
ции U; TTimbkc — суммарное число полюсов f(z) и максимумов функции U, не являющихся полюсами f(z). При этом в соответствии со сказанным ранее в числа то и тпмвкс входят только геометрически различные нули и полюса функции f(z), т. е. каждый нуль или полюс вне зависимости от кратности считается один раз.
Применим теперь соотношения (3.5.3) и (3.5.4) к оценке числа полюсов и нулей функции мероморфной в области Sf, т. е. сферы с I дырками, которая гомеоморфна кругу с Z — 1 дырками. В этом
случае минимумы и максимумы функции U, не являющиеся нулями или полюсами f(z), могут быть расположены только на границе области, т. к. эти экстремумы должны принадлежать гармонической функции ip(x, у) (см. формулу (3.5.2)), все внутренние критические точки которой могут быть только седловыми. Далее заметим, что в число тпмвкс в формулах (3.5.3) и (3.5.4) не входят максимумы, лежащие на границе. Действительно, топологическая структура области меньших значений при прохождении точки граничного максимума не мо-
ТП0+ТП1+ mMBKC ^ Po + Pi + P2; ТПо-ТПі+ TUmbkc = Po - Pl + P2 = X-
макс
(3.5.3)
(3.5.4)
Теория Морса и ассоциированные вопросы
115
жет измениться; не меняются при этом, следовательно, и числа Бетти области меньших значений. Последнее, в свою очередь, означает, что в правые части равенств (3.3.3) и (3.3.4) для к = п и к = п — 1 граничные максимумы не дают вклада. Таким образом для области с границей
^макс — HIjPі (3.5.5)
где TTlp — число внутренних полюсов функции f(z). Согласно изложенному, то для области с границей равно сумме чисел геометрически различных нулей функции f(z) и граничных минимумов функции U, не являющихся нулями f{z). Согласно предыдущему для области Sf при Z Ф 0 мы имеем
Po(Sf) = I; P1(S2)=Z-I; P2(S2)=O. (3.5.6)
Отсюда из формул (3.5.3), (3.5.4) следует
то + ^n1 + тр ^ I; (3.5.7)
TTi0- mi+TTip = X(Sf) =Z-I. (3.5.8)
Мы рассмотрели область мероморфности Sf, т. е. сферу с Z дыр-
ками. Рассуждая совершенно аналогичным образом, можно получить ограничения на числа тщ, Tn1 и тпр для функции, мероморфной на ри-мановой поверхности, гомеоморфной сфере PgCg ручками и I дырками. При этом мы получим
