Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Сказанное нуждается в некотором пояснении. Пусть v — поле скоростей основного течения, a v* — поле скоростей возмущенного течения. Тогда основное течение называется устойчивым (устойчивым в среднем), если энергия возмущения и = v*—v стремится к нулю при возрастании t.
Поведение энергии возмущения при t-> со определяется знаком величины, стоящей в правой части формулы (72.1); если эта величина отрицательна для произвольного поля и, удовлетворяющего условию div и = 0, то имеет место устойчивость. Так как первый член правой части уравнения (72.1) всегда отрицателен, то любое возмущение имеет тенденцию сгладиться за счет вязкости, однако при больших величинах касательных напряжений в основном потоке знак правой части (72.1) может измениться за счет положительного второго члена и амплитуда возмущений будет при этом возрастать. Таким образом, устойчивость течения определяется относительной величиной этих двух членов.
Другой критерий аналогичного характера можно получить, записав уравнение (72.1) в несколько измененной форме. Так как div и = 0, мы имеем
и • D • u = div [(и • v) и] — и • grad и • v.
Применив теорему Гаусса — Остроградского, мы вместо формулы (72.1) получим равенство
d@ п
l(u-gradu-v— v grad u : grad u) dv. (73.1)
___________ as
*) Относительно исследования устойчивости первым из упомянутых методов см. работы Синга [Synge J. L., Semi-Centennial Publications of the Amer. Math. Soc. 2 (Addresses), стр. 227—269, Линя [22], а также Бейтмена и др. [2].
73. Устойчивость течений вязкой жидкости
235
Следовательно, если первый член подинтегрального выражения в правой части равенства (73.1) по абсолютной величине меньше второго члена для всех допустимых функций и, то основное течение с полем скоростей v является устойчивым. Так как в первый член в качестве сомножителя входит V, мы приходим к выводу, что большие величины скорости основного течения и большие напряжения могут вызвать неустойчивость. Ниже на основе указанных соображений будут получены численные оценки границ устойчивости.
Следует заметить, что метод энергетических оценок принципиально не может дать точных значений границ устойчивости (для получения точных оценок следует обратиться к линеаризированным уравнениям), так как в этом методе знак величины, стоящей в правой части уравнения (72.1) или
(73.1), устанавливается для полей и произвольного вида, которые могут и не быть динамически возможными. Однако, несмотря на это, исследование уравнений (72.1) и (73.1) приводит к ряду интересных и ценных результатов.
Пусть область 23 имеет конечный диаметр d. Тогда кинетическая энергия произвольного возмущения и~ = v*—v удовлетворяет двум следующим неравенствам'.
где $0—начальная энергия возмущения, —т — нижняя грань характеристических чисел тензора деформаций для основного течения на интервале времени от 0 до t, а V—максимум модуля скорости основного течения на том же интервале времени. Если т < Zizhjd2 или если V < Y^v/d при всех значениях t, то 0 при t—> оо и основное течение является устойчивым1).
!) Формулировка и доказательство этой теоремы принадлежат Томасу [Thomas Т. Y., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 29, 243 (1943)] и Хопфу [Hopf Е., Math. Ann., 117, 769 (1941)]. Аналогичный результат имеет место в случае, когда область $$ можно заключить в бесконечный цилиндр или между двумя плоскостями, и в случае, когда возмущения предполагаются периодическими.
Интересно заметить, что критерий устойчивости V 3ъч/d можно выразить через число Рейнольдса: если Re = pVd/p <. Y Зя = 5,44, то течение является устойчивым.
и
(73.2)
(73.3)
236
Гл. 7. Вязкие жидкости
Доказательство. Заметим сначала, что для любого непрерывно дифференцируемого поля вектора h
О ¦< (grad и -f- hu): (grad u -4- hu) =
= grad u : grad u + h • grad и2 + h2u2.
Принимая во внимание граничное условие u = 0 на ©, где © — граница области 23, мы получаем отсюда
J grad u : grad u dv^> J (div h — h2) и2 dv. (73.4)
ss яз
Рассмотрим теперь поле вектора h = (г/г) С tg Сг, непрерывно дифференцируемое внутри шара радиуса тг/2С. Полагая С = it/d и фиксируя надлежащим образом начало координат в области S3, мы можем подставить это значение h в формулу (73.4). Тогда после несложных преобразований мы приходим к неравенству
J grad и : grad u dv >. 3C2 J u2dv = (6тг2/^2)51. (73.5)
93 $
Сравнивая соотношения (72.1), (72.2) и (73.5), получаем неравенство
-^-<(2m — 6Tz*v/d2)R,
интегрирование которого приводит к требуемой оценке (73.2).
Доказательство оценки (73.3) проводится аналогичным образом. Исходным пунктом является неравенство, справедливое для произвольной диады А:
А : А — 2и • .А • v + u2v2 = (А — uv): (А — uv) >. 0.
Из этого неравенства следует, что
и- A- v<i(A: A-f-и2©2). (73.6)
Положив A = vgradu и использовав полученное неравенство для того, чтобы найти оценку сверху для величины u*gradu*v, входящей в уравнение (73.1), мы приходим к соотношению
J (u2v2 — v2 grad u : grad u) dv ^ -і- (V2 — bizh^d2) St, интегрирование которого дает оценку (73.3).
73. Устойчивость течений вязкой жидкости
