Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через
г_ Р — Р\
угловой коэффициент прямой, соединяющей точки Zx и Z. С учетом этого обозначения формулу (56.3) можно записать так:
dH = 2TdS + (xl — х)2 dr. (56.4)
В силу выпуклости адиабаты ЭД, проходящей через Zv угловой коэффициент г возрастает при перемещении вдоль кривой % слева направо. Из формулы (56.4) теперь следует, что
dH > 0 при перемещении вдоль % слева направо.
Так как Н = 0 в точке Zlt это означает, что Н < 0 на верхней части 51 и //> 0 на ее нижней части (см. рис. 13). Если обозначить через Ш луч г = const, проходящий через точку Zlf то вдоль мы имеем dH = 2ГdS.
Рассмотрим луч 9Ї, который имеет с ЗЇ только одну общую точку Zv Тогда в силу неравенства (56.1) при движении вдоль 9Ї из точки Zx дифференциал dS будет все
!) В действительности ВДОЛЬ Кривой Гюгонио ДЛЯ 5 — Si имеет место следующее разложение:
56. Основные свойства ударного перехода
185
время иметь либо знак плюс, либо знак минус (в зависи-
мости от того, выше или ниже 91 лежит рассматриваемый нами луч). Так как dH = 2Т dS, такой луч не может иметь отличных от Zj точек, в которых Н = 0. Пусть теперь
луч 9Ї пересекает адиабату в точке ZA, лежащей на верхней части Ж. В силу выпуклости адиабаты из геометрических соображений очевидно, что при движении вдоль SR из точки Zj значение 5 сначала увеличивается — на отрезке от точки Zj до точки Z0 (см. рис. 13), — а затем уменьшается. Так как dH =2ТdS, то при движении вдоль SR из точки Zx величина Н также сначала увеличивается, а затем уменьшается. Но в точке ZA, как уже было указано, Н < 0, и, следовательно, на SR существует единственная лежащая между Z0 и ZA точка Z2, в которой Н = 0. Энтропия
в этой точке, очевидно, больше энтропии в точке Zj.
Наконец, если SR пересекает адиабату 51 в ее нижней части, то из тех же соображений следует, что на 9Ї не может быть более одной точки, где Н= 0. Такая точка Z будет лежать ниже Ж (напомним, что Н > 0 на нижней части ЗЇ), и, следовательно, в этой точке 5 < Sv
Таким образом, мы показали, что кривая Гюгонио представляет собой кривую без точек самопересечения, проходящую через точку Zj, причем 5 > Sx на верхней части этой кривой и 5 < S1 на ее нижней части. Из пятого соотношения (54.5) следует, что при ударном переходе из состояния Zj перед фронтом могут быть достигнуты только те состояния Z, которые расположены на верхней части кривой Гюгонио. Так как на этой части кривой /?>/?! и т < т1э утверждение II доказано.
Для доказательства утверждения III заметим (см. рис. 13), что для ударного перехода из состояния Zj в состояние Z2 должны выполняться следующие неравенства:
(56.5)
Так как (др/дт)5 = — р2с2 и [см. уравнение (54.9)] г = — пг2 = — р2и2,
из двух неравенств (56.5) следует соответственно, что с2 > U2 и Ux > cv т. е. что величина нормальной составляющей
186
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
относительной скорости перед скачком больше скорости звука, а за скачком меньше скорости звука.
Наконец, если заданы состояние перед скачком Zx и нормальная составляющая Uх относительной скорости, то для определения состояния за скачком нужно найти точку пересечения верхней части кривой Гюгонио и луча 9Ї с угловым коэффициентом Г =---Легко видеть, что при условии Ul > сх
(если это условие не выполняется, то скачок невозможен) эта точка определяется однозначно. Величина U2 находится после этого по формуле (J2 = (plUl)z2.
В заключение заметим, что г монотонно убывает (по абсолютной величине монотонно возрастает), когда Z движется по верхней части кривой Гюгонио в направлении от точки Zv Кроме того, в силу соотношения (56.4) при уменьшении г величина 5 увеличивается. Таким образом, при заданном термодинамическом состоянии перед фронтом ударной волны большим значениям Ux отвечают при пере-ходе через разрыв большие изменения энтропии. Например, приращение энтропии на отошедшей ударной волне, возникающей при полете со сверхзвуковой скоростью, достигает максимума на центральной линии тока и монотонно убывает при удалении от этой линии вдоль фронта.
57. Ударный слой. В реальных газах прохождение частицы через ударный фронт представляет собой не мгновенный процесс, в котором состояние частицы меняется скачком из состояния перед фронтом в новое состояние за фронтом, а быстрый переход из одного состояния в другое в некоторой узкой области, или ударном слое. В этой области движение не может быть описано уравнениями движения идеальной жидкости, и, следовательно, возникают некоторые сомнения относительно справедливости предыдущего вывода соотношений Ренкина—Гюгонио. В силу этого вопрос о структуре ударного слоя представляет значительный интерес и ему посвящаются многочисленные исследования. Изучение ударного слоя позволяет глубже понять природу ударных волн, дает некоторую информацию о толщине ударного слоя и приводит к более обоснованному выводу соотношений Ренкина — Гюгонио. Кроме того, сравнивая полученные результаты с экспериментом, мы можем выяснить границы применимости уравнений Навье — Стокса. Из соображений
57. Ударный слой
