Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В силу условия (54.5а) и формулы / = с2/?— 1 критическая скорость <7* и критическая энтальпия /# также не меняются при переходе через ударный фронт. Поэтому приведенные выше рассуждения служат одновременно доказательством следующей цепочки равенств, которая часто оказывается полезной:
Величина этого отношения приведена в последнем столбце табл. 1 (см. п. 37).
Наконец, так как /?2/Рі> 1. число Маха должно быть больше единицы [см. второе уравнение (55.2)]. Это означает, что иг > cv т. е. что относительная нормальная скорость потока перед фронтом ударной волны больше скорости звука. С другой стороны, М2 < 1 и, следовательно, относительная нормальная скорость за ударным фронтом меньше скорости звука1). Как будет показано в следующем пункте, эти свойства ударного фронта сохраняются и в случае движения произвольного газа. Для установившегося потока из первого уравнения (55.2) и уравнения Бернулли следует, что
(55.6)
Ап Рої ___ Р*\ P*i _ Q*i
Ро 2 Р02 Р* 2 Р%2 0*2
(55.7)
*) Эти утверждения дают некоторую информацию о строении ударного фронта; см. [21], стр. 303.
182
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
Эта интересная формула была впервые получена Прандтлем. Если поверхность разрыва ортогональна направлению потока, то формула Прандтля сводится к простому соотношению:
Я\Й2 = 4
66. Основные свойства ударного перехода. В этом пункте будут установлены четыре важных результата относительно свойств состояний газа перед ударной волной и за ее фронтом.
I. Приращение энтропии в ударном переходе имеет третий порядок малости по отношению к интенсивности разрыва (tj—т2).
II. В ударной волне происходит сжатие газа, т. е.
Р2> Pv т2<т1*
III. Нормальная составляющая скорости потока относительно ударного фронта является сверхзвуковой перед фронтом и дозвуковой за фронтом.
IV. Параметры течения перед фронтом ударной волны и величина относительной нормальной скорости (J} полностью определяют значения параметров течения за фронтом ударной волны.
Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями справедливость свойств II—IV была показана в предыдущем пункте. Интересно, что эти же свойства выполняются и для произвольного газа при довольно широких предположениях термодинамического характера1). Точнее, мы потребуем, чтобы
1) термодинамическое состояние Z газа определялось единственным образом величинами давления и удельного объема;
2) имели место неравенства2)
__________ (&),«>• ш*>°-
1) Это обобщение принадлежит Г. Бёте и Г. Вейлю; см. работу Вейля [W е у 1 Н., Comm. Pure Appl. Math., 2, 103 (1949)]. Несколько с других позиций результаты данного параграфа изложены в недавно опубликованной работе Кауэна [Cowan R. D., J. Fluid Mech З, 531 (1958)].
2) Эти предположения уже были сформулированы нами при изложении общих термодинамических принципов; см. уравнения (30.7) и (37.6).
56. Основные свойства ударного перехода
183
[Предполагается также, что все точки первого квадранта плоскости (р, т) определяют возможные термодинамические состояния. Если условия 1 и 2 не выполняются во всем квадранте, наши рассуждения будут справедливы (с незначительными изменениями) в любой выпуклой области, в которой эти условия имеют место.]
Прежде чем перейти к доказательству свойств I—-IV, мы заметим, что в наших предположениях адиабаты в плоскости (/?, т) представляют собой выпуклые монотонно убывающие кривые (рис. 13). Более того, можно было бы показать, что из условий 1 и 2 следует, что величина (dSjdpX всюду имеет один и тот же знак. Мы будем предполагать для определенности, что
(If), > о- <56Л>
на практике, как правило, имеет место именно этот случай.
[Известно лишь несколько примеров, когда имеет место обратное неравенство; наиболее интересным из них является вода при температурах ниже -4-4° С. Случай такого обратного неравенства почти не требует дополнительных рассуждений.] В силу неравенства (56.1) адиабаты, соответствующие большим значениям энтропии, расположены в плоскости (р, т) выше и правее, чем адиабаты, соответствующие меньшим значениям энтропии.
Доказательство свойств I—IV. Рассмотрим функцию
Н(р, т) = 2(/ — /х) — (р — PjKt + Tj), (56.2)
где (рг> хг) — некоторая фиксированная точка. Легко видеть, что кривая Гюгонио §, соответствующая состоянию Zx —
— (Pv ті)> представляет собой геометрическое место точек плоскости (р, т), для которых Н = 0. Любое состояние Z2 = (р2, т2), которое может быть достигнуто из состояния Zx при ударном переходе, должно лежать на <?>. Из соотноше-
Р и с. 13. Адиабаты в плоскости (р,ъ).
184
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
ния dl = TdS — xdp следует, что дифференциал функции Н(р, х) имеет вид
dH = 2TdS — l(p — рг) dx + (xj — x) dp]. (56.3)
Так как на кривой Гюгонио dH ~ 0, то из соотношения
(56.3) следует что
dS — О (вдоль §) в точке Zv
Введя в рассмотрение второй и третий дифференциалы функции Н и вычислив их значение в точке Zv найдем, что
d2S = 0, 2Td3S = dp d2x — dx d2p
вдоль ф в точке Zv Выбрав в качестве независимой пере-
менной т, мы получим dS =¦ d2S — 0 и d3S > 0 для dx < Э. Таким образом, утверждение I доказано*).
