Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
при выполнении условий
- (FF1) = - (F)F1 + - (F1)
dbk( ' dbk( ' ( ' дЬк (
- - ~ JL
дЪк дЪч дЪч дЪк
Поскольку и суперпространство Вп т, и алгебра Грассмана Л представляют
собой также вещественные пространства, суперфункция F может быть задана
набором 21 вещественных функций // от 2,~'(п + т.) действительных
переменных у1к так, что суперанализ во многом аналогичен комплексному
анализу. В частности, функции /7 с необходимостью должны удовлетворять
некоторым условиям типа Коши- Римана. Одно из них
д _ д ду1к ^1 dyJk ^3
Супермногообразие Mn,m размерности (п, т) определяется как банахово
многообразие, допускающее атлас
Фм = {Uu фг.и^ Вп,т},
функции перехода которого супердифференцируемы.
По аналогии с обычной дифференциальной геометрией строятся касательные
пространства к супермногообразию. Касательный вектор к супермногообразию
Mn,m в точке b G Mn,m определяется как класс эквивалентных пар
(h G Вп т, фШ, Ъ G Uu
при преобразованиях атласа Фм. В карте (ф,, Ut Э Ь) он может быть
представлен оператором производной по направлению h в точке Ъ на
множестве суперфункций поскольку Gh = Ghi, если пары (h, ф,) и (h1, ф\)
эквивалентны. Множество Gh, когда h пробегает Вп,т, образует касательное
пространство к Мп,т в точке Ь. Оно изоморфно Впт.
Множество касательных пространств к Mn,m составляет касательное
суперрасслоение - супердифференцируемое расслоение ТМп''п над Mn,m,
получаемое склеиванием тривиальных расслоений Ui х Вп',п посредством
функций перехода
Pij : Щ х Bn'm) Э (b, h) ~ (ft, С(ф{ф~1)) (b, h) G (U, x ?T'm), где
С(0;0т') - аналог матрицы Якоби.
190
Глава 4. Геометрии пространства-времени
Глобальное сечение т касательного суперрасслоения ТМп,т составляет
суперполе на супермногообразии Мп,т. Подобно векторному полю на
многообразии, суперполе т на супермногообразии определяет отображение GT
пространство суперфункций G^{Mn,m) в себя такое, что для любых А ?Л°, F,
F1 ? G°°(Mn,m), выполняются условия
GT(FF') = GT{F)F' + FGT{F'),
GT(\F) = A Gr(F).
Коммутатор двух суперполей
[GT, GT,) = GTGT, - GT,GT
тоже суперполе, и множество суперполей на супермногообразии образует Л°-
модуль, являющийся алгеброй Ли.
Примером супермногообразий и суперполей на них служат супергруппы Ли и
супералгебры Ли. Супергруппой Ли SG называется группа, допускающая
параметризацию грассмановыми величинами, которая превращает групповое
пространство в аналитическое супермногообразие. Как и в теории групп Ли,
алгебра Ли SCrf/ супергруппы Ли SG определяется как алгебра Ли
левоинвариантных суперполей на групповом супермногообразии, т. е. полей,
инвариантных относительно преобразований, порождаемых левыми сдвигами д
н-> д'д на групповом многообразии.
Теорема 4.3.1. Пусть SG - супергруппа Ли размерности (п, т) и - алгебра
Ли группы SG, рассматриваемой в качестве вещественной группы Ли G
размерности 2(~'(п + т). Тогда алгебра ¦У'г^!. рассматриваемая как 2г"'(п
+ т)-мерная алгебра Ли, изоморфна . Обратно, пусть А - алгебра Ли,
образующая суперпространство размерности (n, т), и G - 21-1 (п + т)-
мерная вещественная группа Ли с Л в качестве 2,-|(п + т)-мерной
вещественной алгебры Ли. Тогда на G можно задать структуру супергруппы Ли
с алгеброй Ли А. ?
В физических приложениях обычно рассматриваются супергруппы Ли, чьи
алгебры Ли представляют собой А-оболочки супералгебр Ли.
Как и в случае касательного суперрасслоения, определение главного
суперрасслоения дословно повторяет определение главного расслоения.
Причем, поскольку супермногообразия, супергруппы Ли и суперрасслоения
представляют собой также обычные многообразия, группы Ли и расслоения,
ряд теорем для расслоений остается справедливым и для суперрасслоений.
Например, если SH - замкнутая суперподгруппа Ли супергруппы Ли SG, то для
редукции структурной супергруппы SG главного суперрасслоения к SH
необходимо и достаточно существование глобального сечения
ассоциированного расслоения на фактор-пространства SG/SH.
Перейдем теперь к супергравитации. Рассмотрим супермногообразие М4,4.
Структурной группой его касательного суперрасслоения ТМ4,4 является
супергруппа Ь(4, 4) всех изоморфизмов суперпространства Б4,4 - типичного
слоя суперрасслоения ТМ4,4. Одной из подгрупп L(4, 4) является
супергруппа Ли OSp{4, 2; 1), алгебра Ли которой представляет собой А-
оболочку супералгебры osp(4, 2; 1). Четной частью супералгебры osp(4, 2;
1) является алгебра Ли
so(3, 1) (r) sp(4),-
а нечетная часть состоит из 16 генераторов Q*, (р. = 0, 1, 2, 3; А = 1,
..., 4). Генераторы Q* по индексам р реализуют векторное представление
алгебры Лоренца so(l, 3), а по индексам А - фундаментальное представление
алгебры Ли sp(4).
§ 3. Супергравитация
191
Представление алгебры osp{4, 2; 1) на Z2-градуированном пространстве У4'4
(Л-оболочкой которого является суперпространство В4,4) осуществляется
матрицами А, удовлетворяющими условию
А1Т + ТА = 0, (4.46)
/ rj 0 \
"(• С- ¦:')
Здесь rj - (4 х 4)-матрица метрики Минковского, (-сг°) - единичная (2 х
