Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
• класс Эйлера е(Х) Е Н4(Х, Z) при фиксированной ориентации X4,
• классы Штифеля-Уитни го;(Х) Е Н'(Х, Z2), г ^ 2.
Здесь Н'(Х, Z) и Н'(Х, Z2) обозначают группы симплициальных когомологий.
174
Глава 4. Геометрии пространства-времени
Отметим сразу, что, поскольку многообразие X4 является ориентируемым,
класс Штифеля-Уитни ги,(Х) равен нулю, или более точно является нулевым
элементом группы Hl(X, Z2).
Существенно, что, благодаря гомоморфизмам групп симплициальных
когомологий Н*(Х, Z) в группы Н*(Х, К) когомологий Де Рама внешних
дифференциальных форм на X4 класс Понтрягина р, и класс Эйлера е могут
быть представлены когомологическими классами соответствующих
характеристических форм:
p' = "ibTr(jRAjR) = ifi0bAi?"bi
8тг 8ТГ (415)
e = -^-eabcdRab Л Rcd.
32ж2
Заметим, что в этих выражениях должна использоваться 2-форма кривизны R
линейной связности Г на ТХ, принимающая значения только в алгебре Ли so(4
- к, к) ортогональной группы или одной из псевдоортогональных групп:
R=^RabIab, 1аЬ = -1Ьа.
В частности, это может быть кривизна какой-либо римановой связности или
лоренцев-ской связности, если последняя существует на ТХ.
Если X4 компактное многообразие, интегрированием характеристических форм
(4Л 5) мы получаем число Понтрягина
р'Ч"¦
х
Х = 1'
и эйлерову характеристику
е
х
многообразия X4.
Спинорные расслоения S над X4 со структурной группой L, классифицируются
по классам Чженя с{(Е) 6 Н2'(Х, Z), i ^ 2. При этом, так как структурная
группа L, всегда редуцируема к своей максимальной компактной подгруппе
SU(2), класс Чженя с{(Е) спинорного расслоения совпадает с нулевом
элементом группы Н2(Х, Ъ).
Классы Чженя совпадают с когомологическими классами характеристических
форм Чженя
с, = -^-ТгД = 0,
^ (4 Л 6)
'¦=8?ТГ"ЛЛ) = -^Й'>ЛД"' где R ¦- 2-форма кривизны связности А на
расслоении S. Она дается выражением
R=\FabIab,
где 1аЬ - генераторы группы L, на двумерном комплексном пространстве.
§ 2. Многомерная гравитация
175
Поскольку существует включение
GL4 -> GL(4, С)
касательное расслоение ТХ можно считать ассоциированным с некоторым
комплексным расслоением ТСХ со структурной группой GL(4, С) так, что
имеет место соотношение
Пусть теперь структурная группа касательного расслоения ТХ редуцирована к
группе Лоренца и S - спинорное расслоение, ассоциированное с ТХ. Тогда
расслоение ТСХ ассоциировано с тензорным произведением S (r) S" и
выполняются соотношения
Причем, первое соотношение можно получить непосредственно из равенства
характеристических форм (4Л5) и (4Л6), если форма р,(Х) подсчитана в
случае лоренцевской связности, ассоциированной со связностью на спинорном
расслоении S.
Следующая теорема суммирует топологические условия на многообразие X4,
чтобы оно допускало гравитационное поле, дираковское фермионное поле и
пространственно-временное разбиение (4Л4).
Теорема 4Л.2. Указанные выше структуры существуют на некомпактных
многообразиях X4, если их касательные расслоения тривиальны, и на!
компактных многообразиях X4, если их эйлерова характеристика и классы
Штифеля-Уитни то12 равны нулю, а число Понтрягина Р, кратно 48. ?
§2. Многомерная гравитация
Первая модель многомерной гравитации - модель Калуца-Клейна - была
предложена в 20-е годы как совместное геометрическое описание гравитации
и электромагнетизма. Ее главным атрибутом является 5-мерное пространство
X5 с координатами (хЛ, А = 0, 1, 2, 3; 5) и метрикой
Компоненты метрики дАВ предполагаются независимыми от координаты х5, а на
волновые функции в 5-мерном пространстве накладывается условие
цикличности по координате I5, т. е.
Р,(Х) = -с2(ТсХ).
р,(Х) = -с2(ТсХ) = -4c2(S), w2(X) = 0.
(4.17)
Ф = ip(x°, ..., х3) ехр (imx5),
(4.18)
при целом тп.
Это означает, что пространство X5 представляе т собой прямое произведение
176
Глава 4. Геометрии пространства-времени
4-мерного пространства-времени и окружности S1 с циклической координатой
Xs. При этом выражение (4.17) для метрики длв и выражение (4.18) для
волновых функций ¦ф на Xs через метрику и функции гр на X4 составляют
условия проекции физических, геометрических и других объектов на
пространстве X5 в пространство-время X4. Например, волновое уравнение
? Ф = 0
на пространстве Xs приводится на пространстве X4 к уравнению Прока
(? - тп)-ф = О,
а уравнения Эйнштейна для метрики длв - к уравнениям Эйнштейна для
метрики д*" и уравнениям Максвелла для величин дй, которые в модели
Калуца-Клейна интерпретируются как электромагнитный потенциал.
Все эти моменты присутствуют и в обобщенных многомерных моделях
гравитации, когда на (4 + d)-мерном пространстве компоненты метрики с
индексами высших размерностей, как оказалось, соответствуют калибровочным
потенциалам на 4-мерном пространственно-временном многообразии. Это
соответствие и стало главной причиной широкого внимания к многомерным
моделям как одного из путей объединения гравитации с другими
фундаментальными взаимодействиями. Мы посвятим настоящий параграф
