Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
(4.37), нужным образом будет действовать антикоммутатор
[Q, Q'] = QQ' + Q'Q,
который и представляет собой генератор некоторого четного преобразования.
Таким образом рассмотрение нечетных операторов на Z2-градуированной
алгебре полей Е приводит к обобщению конструкции алгебры Ли до
супералгебры Ли. Супералгеброй Ли называется Ъг-градуированное векторное
пространство
L = L°(r)Ll,
с заданной на нем билинейной операцией [, ], удовлетворяющей следующим
условиям
[I, /] = (-1)|/||/,|+1[7',7],
[I, [Г, Г']] = [[I, I'], I"] + (-l)m|/V, [I, I"]].
Четная часть Ь° супералгебры Ли L является алгеброй Ли, а коммутатор
[L\ L'] С L'
задает представление алгебры Ли
L° :Ll -> L'
на пространстве нечетной части L1 супералгебры Ли. Это позволяет
классифицировать полупростые супералгебры Ли, используя классификацию
Картана алгебр Ли.
Линейные представления супералгебр Ли реализуются в Ъг-градуированных
векторных пространствах
vn'm = F°0 V1 = Е" ф Rm.
При этом четные генераторы не меняют четность элемента пространства
представления, т. е. имеют вид
(А О \ О В
где А - (п х п)-матрицы и В - (т х т)-матрицы.
§ 3. Супергравитация
185
Подчеркнем, что супералгебра Ли является алгеброй над полем К, т. е. ее
коэффициенты - вещественные числа. Однако переход к групповым нечетным
преобразованиям требует расширения числового поля до алгебры Грассмана А.
Это вызвано следующим обстоятельством.
Пусть д - оператор линейного нечетного преобразования в алгебре Е.
Естественно потребовать, чтобы действие д на тензорное произведение полей
имело обычный вид
д(Ф(r)Ф') = д(Ф)(r)д(Ф'). (4.38)
Пусть фиф' - нечетные элементы алгебры Е. Тогда
д(Ф (r) ф') = -д(ф' (r) Ф) = -д(ф') (r) д(Ф)- (4.39)
Сравнивая (4.38) и (4.39), видим, что элементы д(ф)и д(ф') также нечетны,
что противоречит предположению, что д меняет четность.
Это противоречие можно устранить, расширяя поле Ш до алгебры Грассмана А
и заменяя супералгебру Ли на алгебру Ли, являющуюся ее А-оболочкой.
Алгеброй Грассмана А называется ассоциативная алгебра над полем Ш (или С)
с единицей, обладающая канонической системой из I образующих
xV.-.xS xV + xV = o.
Алгебра Грассмана является суперкоммутативной алгеброй. Ее четная (соотв.
нечетная) часть А0 (соотв. А1) образована всевозможными линейными
комбинациями произведений четного (соотв. нечетного) числа образующих.
Имеется вложение поля 1 в А на Ml, где 1 - единица алгебры А. Базис
алгебры А как вещественного векторного пространства образуют элементы
вида
Х' ¦¦¦Хк, г, < ... < гк, к = 0, 1, ..., I,
где [i{, , ik] - всевозможные упорядоченные наборы чисел от 0 до I и х°
= 1- Раз-
мерность этого пространства равна 21.
Расширение поля М до алгебры Грассмана означает переход от векторных
пространств над К к А -модулям, т. е. к тем же линейным пространствам, но
с коэффициентами из А. При этом Z2-градуированное векторное пространство
Уп,тт> над М превращается в Ъ^-градуированный А-модуль, в котором
четность элемента Aw (А €A, v € vn'm) дается суммой
|Av| = (|А| + Н)/ mod 2 четностей элементов Аи". Например, четная часть
А-модуля имеет вид
(л0(r)^)(r)^1^1). (4.40)
Она называется грассмановой А-оболочкой Z2-градуированного векторного
пространства Vn,m и представляет собой, с одной стороны, А°-модуль, а с
другой стороны, 2i_'(7i+m)-мерное вещественное векторное пространство
(r)М") ф <g)Mm) . (4.41)
В частности, взятие А-оболочки от супералгебры Ли делает все ее элементы
четными и превращает ее в.алгебру Ли. Генерируемые элементами этой
алгебры, например посредством экспоненциального отображения
А71-> ехр (АТ), |А| = |/|,
групповые преобразования также являются четными. Это элементы супергруппы
Ли.
186
Глава 4. Геометрии пространства-времени
Среди супералгебр Ли, действующих на Z2-градуированной алгебре
классических полей, особое место занимает супералгебра Пуанкаре (ЬаЬ, Р",
QA, QbО. которая (не выписывая коммутаторы лоренцевских генераторов Lab)
задается соотношениями
где А и В' - индексы 2-компонентных (непунктирных и пунктирных)
вейлевских спиноров, <т1,2,3 - матрицы Паули и <т° = -1. Дело в том, что
эта супералгебра оставляет инвариантным совместный функционал действия
бозонного и фермионного полей, хотя и путем введения вспомогательного
поля.
Например, пусть ф - скалярное поле, а фА - вейлевское спинорное поле и
Fab = -Fba - вспомогательное псевдоскалярное поле. Представление
супералгебры (4.42) на мультиплете
Введение вспомогательного поля необходимо, чтобы антикоммутатор [QA, QB,]
сводился к генераторам трансляций P)t. Легко проверить, что супералгебра
(4.42) в представлении (4.43) оставляет инвариантным функционал действия
Инвариантность этого функционала в общем случае, однако, нарушается при
переходе к неинфинитезимальным калибровочным суперпреобразованиям
Пуанкаре.
Чтобы функционал действия оставался инвариантным относительно конечных
трансляций, надо предположить, что последние сопровождаются также
преобразованиями координатного пространства
