Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
г' м / + cF(x).
Однако в рамках супергруппы Пуанкаре преобразования трансляций могут
возникать в результате суперпозиции преобразований с нечетными
генераторами Q:
Это означает, что координатное пространство X, реализующее представление
группы трансляций, необходимо расширить до пространства, допускающего
представление супергруппы Пуанкаре.
[Qa, Qb'\ - 2а>1Ав'Р",
[Р., Р") = О,
[Qa, Qb] - [Qa1, Qb'] - 0> [P.,Qa] = [P.,Qb'] = 0,
(4.42)
(Ф, Фа, Fab)
выглядит следующим образом:
ЯАф = ^фА, Qb4 = о
QЛФв = y/2FAB, Qb-Фс = г^св-д.ф,
QaFbc - 0> Qb'FAc = *л/2<т^ св'дмФл,
(4.43)
exp (\aQa) exp (AB' QB,) = exp (ал Qa + AB' QB. + 1 [XA Q A, AB' QB, ] +
...
= ехр.(Алдл + A B'QB, + АЛА Ко" AB,P^ + ...).
§ 3. Супергравитация
187
Таковым могло бы быть суперпространство, параметризуемое как обычными
координатами х, так и "спинорными" координатами в, на котором
супералгебра Пуанкаре реализовывалась бы операторами вида
Qa = г&^АВ'вВ ---------------1
чм д0А АВ дхр,
д д
Qb' = Г ~ г<7>*АВ'вЛ •
двв' дх"
Однако строгое математическое описание такого суперпространства оказалось
серьезной проблемой. По-видимому, наиболее удовлетворительно она
разрешается в рамках формализма супермногообразий и суперрасслоений. Этот
формализм является непосредственным градуированным обобщением (путем
замены поля действительных чисел К на алгебру Грассмана Л) обычной теории
дифференцируемых многообразий и расслоений. Такое обобщение может быть
построено, если на алгебре Л ввести банахову структуру, превращая ее в
нормированное евклидово топологическое пространство.
Банаховой алгеброй называется алгебра с нормой, удовлетворяющей следующим
условиям:
IITII = 1,
\\аЪ\\^\\а\\\\Ь\\.
Банахова структура может быть задана на алгебре Грассмана с помощью нормы
i
А = Е Е GK, (4.44)
к=а
РН = Е Е
к= О
Такая норма индуцирует на Л топологию 21 -мерного вещественного евклидова
пространства.
Алгебраическая структура Л может быть реализована также вещественными
матрицами, а именно, алгебра Грассмана Л изоморфна подалгебре алгебры (2l
х 21)-мерных вещественных треугольных матриц, строящихся по следующему
правилу.
Обозначим I упорядоченный набор (г,. • • и). Пусть J С I, т. е. I
содержит в себе все элементы из J. Обозначим I-J набор из тех элементов
I, которые не входят в J. Аналогично, если IП J =0, обозначим I+ J набор,
состоящий из элементов как I, так и J. Пусть (7|J) - четность
перестановки при упорядочивании множества ^ ... ikjt... jn. Поставим в
соответствие элементу
а = Е"^> X1 = X*' • • • Х.'к
I
алгебры Л матрицу с компонентами
Ли = (-l)U|J"V-л ICJ,
Аи = О,
(4.45)
188
Глава 4. Геометрии пространства-времени
Например, если 1 = 2, произвольный элемент из Л имеет вид
Л = а0 + а,х' + а2Х2 + V
и ему отвечает матрица
/ а0 а I аг аП
0 0 аг
0 0 а0 -а,
1 0 0 0
Можно проверить, что умножение элементов Л из алгебры Грассмана Л
соответствует произведению сопоставляемых этим элементам вещественных
матриц (4.45). Это важно, поскольку позволяет представить алгебры и
группы Ли с параметрами из алгебры Грассмана как вещественные алгебры и
группы Ли.
Суперпространством Вп гп размерности (п, т) называется Л-оболочка (4.40)
Ъг-градуированного векторного пространства Vn,rn с базисом {vk}, к = 1,
..., п + т, и нормой, индуцируемой нормой (4.44) по правилу
п + т
iibii = I>ii,
t=i
t /jl t n in+1 /- а ^ rn+k r . I
b = (b,..., ь , b ,..., ь ), ь ел , ь ел .
Такая норма определяет на Вп'т топологию 2,_|(п+то)-мерного евклидова
пространства. С другой стороны, суперпространство Вп'т можно представить
как 21-|(п + т)-мерное вещественное векторное пространство (4.41) с
базисом {е1к}.
Рассматриваются отображения
F : Вп т ->Л,
называемые суперфункциями. Их супердифференцируемость определяется по
аналогии с дифференцируемостью обычных функций на банаховых
пространствах. Суперфункция F может считаться г раз супердифференцируемой
в точке Ь е ВТ1ГП, если для всякого элемента (b + h) из некоторой
окрестности U еЪ суперфункцию F(b + h) можно представить в виде
г
F(b + h) = F(b) + ^(GpB)(b, h) + т7(Ь, h)\\h\\p,
р- 1
где (GpF)(b, h) - полилинейные, кратности р, непрерывные отображения
Bnm ^ (GpF)(b, h) ел
суперпространства Вп,т как Л°-модуля в алгебру Л, а суперфункция Т)(Ь, h)
удовлетворяет условию
lim ||т?(Ь, h)|| -> 0.
цлц-o
Суперфункция F считается г раз супердифференцируемой (класса G7) в
открытой области U С В"'77*, если она г раз супердифференцируема во всех
точках Ъ eU. Суперфункция F считается класса G", если она класса Gr при
любом г.
§ 3. Супергравитация
189
Обозначим G°°(U) множество суперфункций класса G*° на U С вп,т. Тогда
сопоставление
GK : Fib) (GF)(b, h), b G U, задает отображение G(tm)(U) в себя,
удовлетворяющее условиям
GhiFF") = GhiF)F' + FGhiF'),
Gh'Gh = GhGhi-
Оно представляет собой производную суперфункции F по направлению h. На
полиномиальных и аналитических суперфункциях производной по направлению
можно придать вид
