Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
структур на X и X'.
Пример 1.1.7. Стереографическая проекция (рис. 1) устанавливает
гомеоморфизм п-мерной сферы Sn без точки и n-мерного евклидова
пространства R". Открытый шар в евклидовом пространстве гомеоморфен
самому этому пространству. ?
Пример 1.1.8. Топологическое пространство называется локально евклидовым
пространством размерности п, если всякая его точка обладает окрестностью,
гомеоморфной евклидовому пространству Р." . Например, окружность S1
является локально евклидовым пространством размерности 1. Пространство-
время Минковского как топологическое пространство представляет собой 4-
мерное евклидово топологическое пространство, что и дает основание
ограничиваться в физических моделях евклидовыми и локально евклидовыми
пространствами. ?
Пусть множество X снабжено некоторой алгебраической структурой,
характеризуемой теми или иными морфизмами X х X -* X, X -* X или К х X -*
X. Говорят, что топология на множестве X согласуется с его алгебраической
структурой, если все эти морфизмы непрерывны в этой топологии.
Рис. 1
10
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.1.9. Пусть X - векторное пространство. Будучи наделенным
некоторой топологической структурой, оно называется топологическим
векторным пространством, если операции сложения и умножения на число в
этой топологии непрерывны. Например, n-мерное векторное пространство в
топологии n-мерного евклидова пространства является топологическим
векторным пространством. Отметим, что в топологическом векторном
пространстве операции сложения с фиксированным вектором и умножения на
фиксированное число являются его гомеоморфизмами. Отсюда, в частности,
следует, что топологическая структура в окрестности любого элемента
определяется топологией окрестности 0 векторного топологического
пространства. ?
Пример 1.1.10. В калибровочной теории фундаментальных взаимодействий в
качестве групп симметрий фигурируют, как правило, группы Ли, которые
являются частным случаем топологических групп. Группа G называется
топологической группой, если ее групповое пространство наделено
топологией, в которой операции произведения (З! 9 )99' и перехода к
обратному элементу д н-> д~' являются непрерывными. Более того, умножение
на фиксированный элемент группы и переход к обратному являются
гомеоморфизмами топологической группы. Тем самым топологическая структура
в окрестности любого элемента топологической группы определяется
топологией окрестности ее единицы. ?
Введем теперь важные понятия отношения эквивалентности и фактор-
пространства.
Отношением Е на множестве X называется некоторое подмножество Е С X х X.
Говорят, что элемент а Е X находится в отношении Е к элементу b Е X
(обычно пишут аЕЬ), если (a, b) Е Е.
Отношение Е именуется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет
следующим условиям:
• всякий элемент эквивалентен сам себе;
• если элемент а эквивалентен Ь, то Ь эквивалентен а;
• если элемент а эквивалентен 6 и 6 эквивалентен с, то элемент а
эквивалентен с.
Например, отношение параллельности прямых на плоскости есть отношение
эквивалентности.
Классом эквивалентности отношения эквивалентности Е на множестве X
называется такое подмножество ХЕ С X, что аЕЬ для всех a, b Е ХЕ и
отношение Е не имеет место ни для каких а Е ХЕ и b Е Х\ХЕ. В силу этого
определения классы эквивалентности {Х?} образуют разбиение множества X,
т. е.
х = хЕ п xEi -0 .
Пример 1.1.11. Принадлежность двух элементов топологического пространства
какому-либо одному связному подмножеству есть отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности, на которые это отношение разбивает пространство,
являются его максимальными связными подмножествами, именуемыми
компонентами связности топологического пространства. Например,
топологическое пространство называется вполне несвязным, если его
компонентами связности являются лишь его элементы. Дискретное
топологическое пространство очевидно вполне несвязно. Но вполне несвязное
пространство не обязательно дискретно. Например, множество рациональных
чисел, наделенное метрической топологией, задаваемой функцией расстояния
(1.1), вполне несвязно. ?
§ 1. Топологические пространства
11
Пример 1.1.12. Пусть топологическая группа G из Примера 1.1.10 действует
слева непрерывно и эффективно в топологическом пространстве представления
V. Это означает, что отображение
G х V Э (д, v) gv ? V
непрерывно и, если gv = v для всех л ? V, то <7 = 1 - единица группы.
Зададим на V отношение Е такое, что vEv', если v' = gv для некоторого
элемента д ? G. Это отношение эквивалентности. Его классы эквивалентности
называются орбитами группы G в У. Например, орбитами группы 50(2)
вращений плоскости являются окружности с центром в точке вращения. На
каждой орбите группа G действует транзитивно, т. е. по определению для
любых двух элементов v и v' орбиты имеется элемент группы д ? G такой,
что v' - gv. ?
Множество всех классов отношения эквивалентности Е на множестве X
