Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
мерное векторное пространство TZM, которое и называется касательным
пространством к М в точке z. Множество ТМ всех касательных пространств к
многообразию М тоже можно наделить структурой многообразия, задав на нем
голономную систему координат
(z\ А (1.6)
а 1 ^
• /л dz
z = -----------
dza
(1.7)
где лЛ координаты на многообразии М, a zA координаты на касательных
пространствах к М относительно голономных базисов этих пространств.
Хотя базис касательного пространства TZM можно выбрать произвольно, его
обычно задают так, чтобы базисные векторы были касательными векторами к
координатным линиям на М через точку z. Он называется голономным базисом
и обозначается {дх} ¦ Если требовать, чтобы голономность базиса
касательного пространства сохранялась при преобразованиях координат на
многообразии, последние должны сопровождаться переходом к новым
голономным базисам
dza
д*=мхд-
Имеет место естественная сюръекция
7гм : ТМ Э TZM - z ? М (1.8)
многообразия касательных пространств ТМ на М. Она наделяет ТМ структурой
расслоенного пространства, которое называется касательным расслоением.
При этом всякий морфизм многообразий f \ М -* М' порождает морфизм
соответствующих касательных расслоений
Tf :ТМ -> ТМ', (1.9)
..л ,, 'V
z °Tf=e^z ¦
Это послойный морфизм над /, который осуществляет линейные отображения
касательных пространств ТгМ к М в касательные пространства Т}(г)М' к М'.
Его называют дифференциалом отображения f или касательным морфизмом
(tangent morphism) к /.
В дальнейшем мы будем иметь дело, как правило, с морфизмами многообразий
следующих типов: инъекция, сюръекция, иммерсия, погружение, вложение,
субмерсия, проекция, уже упомянутый выше диффеоморфизм и локальный
диффеоморфизм. Остановимся на них подробнее, поскольку в разных, изданиях
терминология, различается. Кроме того, в ключевом для нас определении
расслоенного многообразия к : Y -> X требуется, чтобы морфизм 7г был не
просто сюръекцией, а еще и субмерсией. Поэтому необходимо ясно
представлять, что это такое.
20
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Существует два типа морфизмов многообразий / : М -* М', когда матрицы
Якоби
'dfx'
Sf(z) =
dz°
касательного морфизма Tf к / в точках z Е М имеют максимальный ранг. Это
иммерсия, когда dimM ^ dimM' и субмерсия, когда dimM ^ dimM'. Если
морфизм / является одновременно и иммерсией, и субмерсией, когда dimM =
dimM', это локальный диффеоморфизм.
Морфизм многообразий f : М -* М1 называется иммерсией (immersion), если
для любой точки z Е М касательный морфизм Tf осуществляет инъекцию
касательного пространства TZM в касательное пространство TS{z)M'.
Приведем следующий критерий иммерсии. Морфизм f : М -* М' является
иммерсией тогда и только тогда, когда для всякой точки z Е М существуют
ее открытая окрестность Uz и открытая окрестность Uf(z) D f(U) точки f{z)
с такими координата-
ми (z'x), что
о / = 0, А = dimM + 1, ..., dimM',
а iz' 0 /), А = 1, ..., dim М, являются координатами на Uz.
Морфизм f : М -" М', который является одновременно инъекцией и иммерсией,
называется погружением. Образ погружения многообразия М в многообразие М'
по определению считается подмногообразием многообразия М'.
Пример 1.2.7. Рассмотрим многообразие М = Кс координатой (z) и
многообразие М' = К2 с координатами (г'1,г'2). Отображение
z^(z''= 0, Z2 = (zf\
Рис. 4
дает пример инъекции, которая не является иммерсией, и соответственно ее
образ не является подмногообразием. Рисунок 4 демонстрирует случай
иммерсии, которая не является инъекцией. ?
Подчеркнем, что в отличие от структуры топологического подпространства,
далеко не всякое подмножество многообразия может быть наделено структурой
подмногообразия. Более того не всякое подмногообразие является
топологическим подпространством многообразия. Пример 1.1.16 иллюстрирует
этот факт.
Подмногообразие, которое является также и топологическим подпространством
многообразия называется вложенным подмногообразием, а диффеоморфизм на
вложенное подмногообразие называется вложением многообразия. Следующее
условие может служить критерием вложения.
Морфизм f : М -* М1 является вложением тогда и только тогда, когда для
всякой точки z Е М существует открытая окрестность U/(z) точки f(z) с
такими координатами (z,x), что пересечение /(М) П Uf(z) состоит из тех и
только тех точек z' Е Uf(z), чьи координаты удовлетворяют условию
= 0, А = dim М + 1, ..., dim М'.
(1.10)
§2. Многообразия
21
Это означает, что вложенное подмногообразие может быть локально задано
координатными условиями (1.10).
Например, всякое открытое подмножество U многообразия М может быть
наделено структурой многообразия, такой что естественная инъекция ги : U
> М является вложением. Поэтому в дальнейшем, говоря об открытом
подмножестве многообразия, мы будем подразумевать и его структуру
вложенного подмногообразия.
Морфизм / : М -> М' называется субмерсией (submersion), если для всякой
точки z <Е М касательный морфизм Tf является сюръекцией касательного
