Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
пространства TZM к М на касательное пространство Tfiz)M' к М'.
Следующие условия эквивалентны. •
• Морфизм / : М -> М' является субмерсией.
• Для всякой точки z ? М существуют: (i) открытая окрестность U,, (ii)
открытая окрестность Uf(z) Э f(U) точки f(z), (iii) многообразие Vv и
(iv) диффеоморфизм
ip \ UZ -> UHz) х Vy, (1-11)
рг,о-ф = f \Uz .
Другими словами имеет место локальное расщепление многообразия М.
• Пусть Uz и Uf(z) - упомянутые в предыдущем пункте окрестности точек z и
f(z) соответственно. Пусть (z' ) - координаты на Ujfz]. Можно так выбрать
координаты (гх) на Uz, что
= z* о /, Л = 1, ..., dimM', т. е. эти координаты совпадают с
координатами на Uf{z).
• Для любой точки f(z) G М' имеется открытая окрестность Ufiz) и ее
вложение s в М такое, что
(so f)(z) = z.
Другими словами существует сечение многообразия М над Uf(z).
Каждое из приведенных выше условий полностью характеризует субмерсию и
может служить в качестве ее эквивалентного определения.
Морфизм многообразий, который одновременно является субмерсией и
сюръекцией, называется проекцией.
Пример 1.2.8. Отображение
М -> М, z = z1 - z,
дает пример сюръекции, которая не является субмерсией. ?
Многообразие М, наделенное проекцией / : М -> М', называется расслоенным
мно~. гообразием над базой М'. Это основной математический объект, к
которому мы будем обращаться на протяжении всей книги.
В полевых моделях обычно рассматривают расслоенные многообразия над
ориентируемой базой, которая играет роль пространственно-временного
многообразия.
22
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Координатный атлас многообразия М называется ориентированным, если
якобианы
всех функций перехода между картами положительны. Многообразие считается
ориентируемым, если всякий его атлас эквивалентен некоторому
ориентированному атласу. Говорят, что два ориентированных атласа на
многообразии ориентированы одинаково, если их объединение - тоже
ориентированный атлас. Ориентацией многообразия называется класс
эквивалентности одинаково ориентированных атласов. Связное ориентируемое
многообразие имеет в точности две ориентации.
Пример 1.2.9. Сфера S" ориентируема. Для иллюстрации рассмотрим сферу 52
из Примера 1.2.1. Якобиан функции перехода (1.5) равен
т. е. координатный атлас {(г,, ух)\ (х2, у2)} является ориентированным.
Проективное пространство ЕР" ориентируемо только для нечетных п. В
частности, рассмотрим проективное пространство ЕР1 из Примера 1.2.3.
Функция перехода между картами (1, г?) и (22! 1) имеет вид
Легко проверить, что ее якобиан отрицателен: ~(г{)2 < 0. Это означает,
что указанный атлас не является ориентированным. Но преобразованием
координат
можно перейти к эквивалентному ориентированному атласу на ЕР1. ?
Задание ориентации на многообразии можно себе представить наглядно в
случае 2-мерной поверхности в 3-мерном евклидовом пространстве как
построение гладкого поля нормальных к поверхности векторов. Ясно, что,
если такое поле построено, то возможно еще только одно такое поле,
получаемое изменением направлений всех векторов на противоположные.
Примером поверхности, на которой поле нормальных векторов построить
нельзя, является лист Мебиуса.
Морфизмы ориентируемых многообразий имеют специфическую характеристику,
именуемую степенью отображения.
Рассмотрим сюръекцию ориентируемых m-мерных многообразий / : М -> М'
такую, что (i) прообраз f~l(z') всякой точки z' ? М' состоит из конечного
числа точек и (ii) якобиан касательного морфизма Г/, записанного
относительно ориентированных координат, во всех этих точках отличен от
нуля, т. е. это локальный диффеоморфизм. Степень отображения f в точке z
определяется как разность
числа N+ точек прообраза z ? f~\z), в которых якобиан Tf положителен (т.
е. f не изменяет ориентацию) и числа N_ точек прообраза, где якобиан Tf
отрицателен (т. е. f меняет ориентацию). Важно, что, если М и М' связны,
степень отображения одна и та же во всех точках многообразия М'.
В частности, степень отображения сферы Sn на сферу 5" показывает сколько
раз при этом отображении первая сфера обертывается вокруг второй.
Например, легко убедиться, что степень отображения окружности на
окружность из Примера. 1.2.6 равна двум.
{х\ + у])-1 > О,
d egf,j = N+(z')-N_(z')
§ 3. Расслоенные многообразия
23
§3. Расслоенные многообразия
Рассмотрим расслоенное многообразие
7Г :У-> X, (1.12)
где морфизм 7Г по определению является сюръекцией и субмерсией.
Договоримся использовать символы у и х для обозначения точек расслоенного
многообразия У и его базы X соответственно. Если специально не оговорено,
база X в дальнейшем имеет размерность п. Она наделена системой координат
(жА).
Отметим, что в случае расслоенного многообразия, проекция ж является
открытым отображением, т. е. переводит открытые множества в открытые. Она
определяет отношение эквивалентности ж (у) = ж(у') на У, классами
эквивалентности которого являются слои ж~'(х) расслоенного многообразия.
