Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
некотором направлении в базе X. Другими словами для каждой точки у ? Y
осуществляется поднятие касательного пространства Тх(.у)Х к базе X в
касательное пространство TyY к Y, как это условно изображено на рисунке
5.
Перейдем теперь от наглядных соображений к строгой математической
конструкции связностей на расслоении.
t1, t2 ? [а, Ь],
Рис. 5
54
Г лава 1. Дифференциальная геометрия
Существует несколько эквивалентных способов введения связностей. Мы
начнем с вышеупомянутого наиболее традиционного, когда для всякой точки у
расслоения У -'> X касательный вектор ххдх к базе X в точке х = тг(у)
поднимается до касательного вектора
Xх (дх +Т'х(у)д{)
кУ в точке у.
Определение 1.6.1. Связность на расслоении (connection) Y -* X
определяется как расщепление точной последовательности (1.28а) (и
соответственно (1.28Ь)). ?
Это означает, что задано некоторое вложение
Гт : ТХ <-* TY, (1.64)
у
которое определяет горизонтальное расщепление касательного расслоения TY:
TY = HY ф VY = ТТ(ТХ) 0 VY. (1.65)
у У
Вложение (1.64) порождает линейный послойный морфизм
Г = Гт о Ттт: TY -> ТУ, ххдх + у'д{ ^ хх(дх + Т\(у)д{),
который удовлетворяет условию
TV = Кег Г.
Он задается соответствующей тангенциально-значной 1-формой (1.37). Это
позволяет дать эквивалентное определение связностей на расслоении в
терминах тангенциальнозначных форм.
Определение 1.6.2. Связность на расслоении Y -* X определяется как
проектируемая горизонтальная тангенциально-значная 1-форма Г на У такая,
что
Т j ф = ф
для всех внешних горизонтальных форм ф на У. В расслоенных координатах
(1.13) на У она дается выражением
T = dxx(r)(dx+Tix(y)di), (1.66)
w* = (д]Г_ ,
Х у dyj * Эхе J дх'х
?
Связностями, вводимыми таким способом, удобно оперировать в различных
выражениях. Однако, чтобы исследовать их свойства, более предпочтительно
другое определение связностей.
Нетрудно убедиться в том, как мы на это уже указывали, что горизонтальное
расщепление (1.65) касательного расслоения ТУ можно получить из
канонического горизонтального расщепления (1.55) касательного расслоения
2'У, индуцированного на J'Y, подстановкой глобального сечения Г
расслоения струй J'Y -* У. Поэтому можно дать еще следующее определение
связностей на расслоении.
§ 6. Связности на расслоениях
55
Определение 1.6.3. Связность на расслоении Y -> X определяется как
глобальное сечение Г аффинного расслоения струй JlY -> Y:
Г : F -> J[Y,
у{ оГ = Г\(у)- (1.67)
?
Следует однако отметить, что в математической литературе Определение
1.6.3 - это не определение, а теорема, которая утверждает, что существует
взаимно однозначное соответствие между связностями на расслоении Y -> X и
глобальными сечениями расслоения струй J'F -> F. В композиции с
каноническим морфизмом А (1.50) всякое такое глобальное сечение Г (1.67)
представляется тангенциально-значной формой А о Г (1.66) на F, которая
для удобства обозначается тем же символом Г. Подставляя выражение (1.66)
в канонические горизонтальные расщепления (1.55) и соответственно (1.56),
мы получаем горизонтальные расщепления
хХдх +у<д, = х\дх + Т\д{) + (у* - ±лП)д,,
ч ч \ (1.68)
xxdx + Vidy' = (хх + rxpi)dx +i)i(dy -Y\dx )
касательного и кокасательного расслоений TY и T*Y относительно связности
Г на F. Обратно всякое горизонтальное расщепление (1.68) определяет
некоторую тангенциально-значную форму (1.66) и соответственно глобальное
сечение расслоения струй J'F-"F
Пример 1.6.1. Пусть Y -> X - векторное расслоение. Линейная связность на
F имеет вид
T = dxx(r)[dx-Tijx(x)yidi]. (1-69)
?
Пример 1.6.'2_Пусть Y -> X - аффинное расслоение, моделируемое над
векторным расслоением Y -> X. Аффинная связность на F имеет вид
Г = dxx 0 [дх + (-IVW + Г\(х))д;],
где
Г = dxx (r) [дл - Т';Х(х)у3д;]
- линейная связность на F. ?
Естественно, что при изоморфизме Ф расслоения связность Г переходит в
новую связность
Г' = 71ФоГоФ-1.
Приведем ее координатный вид, когда Ф - изоморфизм над X:
уЧ оГ'МдлФЧгДО^оф-1.
В частности, пусть Г - связность на расслоении F -> X и Г' - связность на
расслоении F' -> X. Вследствие изоморфизма (1.49), они порождают
связность
г*г' = ^(r)(а,+п^ + г;^)
на произведении Y xY, которая называется произведением связностей.
56
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Приведем также две специфические операции с линейными связностями на
векторных расслоениях.
Пусть У -> X - векторное расслоение и Г - линейная связность (1.69) на У.
Она определяет линейную связность
Па = -Г^А^^-
на дуальном векторном расслоении У* -> X, которая называется дуальной
связностью.
Пример 1.6.3. Линейная связность К на касательном расслоении ТХ над
многообразием X и дуальная связность К* на кокасательном расслоении Т*Х
имеют вид
Кх = -К°'1,х{х)х1'
(1 70)
K^=K\x(x)iv. К'
?
Пусть У, У' - векторные расслоения над X и Г, Г' - линейные связности на
этих расслоениях. Они задают линейную связность
(r(r)r')ifc =rW*+r'Wi
на тензорном произведении
У <g)y' -* X,
х
