Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
которая называется тензорным произведением линейных связностей.
Представление связностей как глобальных сечений расслоения струй
позволяет следующим образом характеризовать все множество связностей на
расслоении. Так как расслоение струй J[Y -" У расслоения У -" X является
аффинным расслоением, моделируемым над векторным расслоением (1.48),
связности на расслоении У образуют аффинное пространство, моделируемое
над линейным пространством припаивающих форм на У из Примера 1.4.7.
Отсюда следует, что, если Г - связность и
а = a\dxx (r) д{
- припаивающая форма на У, их сумма
Г + а - dxX (r) [дА + (П + 0а)с>;]
тоже связность на У. Обратно, если Г и Г' - связности на расслоении У,
тогда их разность
Г - Г' = (Г! - И1)<йсА <g> di
- это припаивающая форма на У.
Поскольку связности представляются тангенциально-значными формами, к ним
можно применить операцию (Р-М)-дифференцирования (1.39). Таким путем, в
частности, получаем:
• кривизну связности (curvature)
R - - dj-Г = - R%Xl±dxx A dxм (r) dt -
\ 2 (1.71)
= 2 (0аП - № + Ид п - г?а,-г1) dxx A dx" (r) др,
§ 6. Связности на расслоениях
57
• кручение (torsion) связности относительно припаивающей формы а\
• кривизну припаивающей формы а:
Например, если Г' = Г + а, то
R - R -Ь € -Ь П.
Пример 1.6.4. Кривизна (1.71) линейной связности (1.69) имеет вид
(1.72)
?
Всякая связность Г на расслоении Y -> X определяет дифференциальный
оператор первого порядка
на Y. Он называется ковариантным дифференциалом относительно связности Г.
Его действие на сечения s расслоения Y имеет вид
и называется ковариантным дифференцированием. В частности, сечение s
называется интегральным сечением связности (integer section) Г, если Vrs
= 0, т. е.
Общий способ задания связностей как сечений расслоения струй применим и
для описания хорошо известных по физическим приложениям связностей на
главных расслоениях. Связности этого типа моделируют калибровочные
потенциалы в калибровочных моделях фундаментальных взаимодействий. Однако
даже калибровочная теория не может ограничиться только главными
расслоениями и связностями на них. Например, расслоения, сечениями
которых являются сами калибровочные потенциалы, не являются главными и
связности на них не есть связности на главных расслоениях.
Dy : J'Y Э z к* [z - r(7rd(z))] 6 Т*X (g> VY,
(1.73)
У
Dy = (у'х -r\)dxx(r)d"
Vys = Dr о j's = [dxs; - (Го s)lx]dxx <8> d{
(1.74)
ros = Js.
58
Глава 1. Дифференциальная геометрия
§ 7. Расслоения со структурными группами
Расслоениям со структурной группой, главным расслоениям и связностям на
них посвящена обширная математическая литература. Поэтому мы здесь
затронем только те факты и понятия, которые строго необходимы для
рассматриваемых в книге физических приложений.
Пусть Y - расслоение, задаваемое своей базой X, типичным слоем V и
атласом расслоения
Ф = {U(, тро в((},
где
f?{< : (U( П [/<) х У - V
- функции перехода (1.16). Пусть G - группа, которая действует гладко и
эффективно в пространстве типичного слоя V расслоения Y. Предположим, что
можно выбрать такой атлас расслоения Ф, функции перехода которого
(х): х х V -> V
в каждой точке х ? U( П [7С представляются элементами д^(х) группы G,
действующими на У, т. е.
et<(x)(V) = gK(x)V,
giC : Щ П [7C x V -> G x V -> V, (1.75)
где g^ - гладкие G-значные функции на Г\ U^. Тогда группа G именуется
структурной группой расслоения (structure group). Само расслоение Y,
наделенное классом эквивалентных атласов с функциями перехода вида (1.75)
называется расслоением со структурной группой.
Пример 1.7.1. Открытый лист Мебиуса из Примера 1.3.4 может быть
представлен как топологическое расслоение со структурной группой Z2,
наделенной дискретной топологией и действующей на интервале ] - 1, 1 [
как группа умножений на -1. ?
В теории калибровочных полей, как правило, используются расслоения со
структурными группами Ли. В дальнейшем, если специально не оговорено, мы
будем предполагать, что структурной группой расслоения является
вещественная конечномерная группа Ли.
Расслоение Y со структурной группой однозначно характеризуется базой X,
структурной группой G, типичным слоем V и атласом расслоения
Семейство функций перехода {gi<:} этого атласа определяет, как расслоение
Y сконструировано из тривиальных расслоений ^ х V. Пусть Y' - расслоение,
как и Y, над базой X, со структурной группой G, но другим типичным слоем
Vи пусть его атлас характеризуется тем же семейством функций перехода
{д^}, что и атлас расслоения Y. Это означает, что расслоение Y'
организовано из тривиальных расслоений С/j х V' в точности как У.
Расслоения со структурной группой, которые отличаются только типичным
слоем, называются ассоциированными расслоениями (associated bundles).
Ассоциированные расслоения имеют целый ряд общих свойств: одно и то же
множество классов эквивалентности расслоений, одинакового типа связности
и др.
§ 7. Расслоения со структурными группами
59
Среди ассоциированных расслоений с данной структурной группой G важным
