Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
полностью антисимметри-зованные тензорные произведения
dzx' Л • • • Л dzx' = sgn (-- ) dzMI ig> • • • ig>
dz^1',
где суммирование производится по всем перестановкам [/г,... рт] индексов
А,, ..., Лг и sgn()= ±1 - знак такой перестановки. В голономных
координатах, внешняя г-форма принимает вид
ф = 0M1...Ml.(z)d0MI (r) (r) dz11'' = Ф\^...\,Хг)дгх' А ¦ ¦ ¦ A dzXr,
(1.35)
где в последнем выражении сумма берется по всем упорядоченным некоторым
образом наборам индексов (ААг). При выборе другого упорядочивания одного
и того же
38
Глава 1. Дифференциальная геометрия
набора индексов надо принимать во внимание, что коэффициентные функции
ф\^..\,Хг) в разложении (1.35) антисимметричны по всем индексам.
Пример 1.4.1. Внешняя 3-форма на 4-мерном многообразии имеет вид
ф = фm(z)dzlAdz2Adz2 + фш(г)<1г2 Adz3 Adz4 + фт{г)фг' Adz2 Adz4 +
фПь(г)<1г[Л<1г2Л<1г4.
Разложение (1.35) внешней m-формы на m-мерном многообразии содержит
только одно слагаемое
ф = ф(г)<1гх' Л • ¦ • Л dzx"'.
Подчеркнем, что ф(г) в этом выражении не является вещественной функцией.
При координатном преобразовании она делится на якобиан. Строго говоря,
надо было бы написать 0A,...AmCz). ?
Внешние г-формы на многообразии М образуют пучок
Л^*(М),
а все внешние формы на М - пучок
A JT*(M) = R{M) 0 (ф (Д .Т\М)^ ) ,
где R(M) обозначает пучок вещественных функций на М.
Перечислим основные операции над внешними формами.
(i) Прежде всего это - операция внешнего произведения (exterior
product) Л внешних форм, которая наделяет пучок внешних форм на
многообразии М структурой пучка градуированных алгебр. Она обладает
следующими свойствами.
• Пусть ф - внешняя г-форма и ф' - внешняя А;-форма, тогда ф Л ф' - это
внешняя (г -I- А;)-форма.
• Наряду с линейностью относительно сложения
(Т Л (ф + ф') = (Т Л ф + (Т Л ф', имеем следующее правило перестановки
ф А ф' = (-d'^V л ф,
где символ \ф\ обозначает степень внешней формы ф.
• Используя предыдущие свойства и то что
(dzA' Л • • • Л dzXr).А (dzА ¦¦¦ A dz*L) - dzx' А ¦¦¦ A dzXr A dz1*' А
¦¦¦ A dzliL,
можно легко получить внешнее произведение любых внешних форм, заданных в
координатном виде (1.35).
§ 4. Дифференциальные формы
39
(ii) Операция свертки внешней г-формы (1.35) и векторного поля
и =
на многообразии М дается выражением
г
и J ф = ^(-1)Р_1и,'<г1)л|...л))_|"л1.+1...лг^Л| Л ••• Л dzxp Л Л dzXr,
р= 1
где dzXp указывает на то, что элемент dzXp удален. Эта операция
естественным образом линейна по сложению внешних форм и удовлетворяет
условию
и j (ф А ф') = (и j ф) А ф' + (-1 )мф А (и j ф').
Удобно ввести обозначения
v = dx' (
d,1jUJX=u)tlX.
(iii) На пучке внешних форм определена операция внешнего
дифференцирования или просто внешний дифференциал (exterior differential)
d. Оператор d переводит внешнюю г-форму во внешнюю (г + 1)-форму и
обладает свойствами
dd = О,
с1(ф Л ф1) = (йф) Л ф' + (-\)щф А (йф1).
В голономных координатах операция внешнего дифференцирования имеет вид dф
- d^Xl...Xr(z)dz11 A dzx> Л • • • Л dzx''.
Пример 1.4.2. Если, ф - вещественная функция, то
йф = d^dz^.
Если ф - 1-форма, тогда
dф = д|Лф^,dz^ A dzv.
Например, выражение для тензора напряженности электромагнитного поля
через его вектор-потенциал А - Avdxv имеет вид
F = -F^dx1* A dxv = dA.
?
Внешняя форма ф называется замкнутой, если dф - 0. Внешняя форма ф
называется точной, если ф - da. Из свойств операции, внешнего
дифференцирования следует, что всякая точная форма является замкнутой, но
не наоборот. Существуют топологические препятствия тому, чтобы замкнутая
форма была точной. Это всегда имеет место на стягиваемом многообразии,
все глобальные топологические характеристики которого тривиальны. Мы
вернемся к этому вопросу в следующей главе.
40
Глава 1. Дифференциальная геометрия
(iv) Пусть / : М -> М' - морфизм многоообразий. Всякая внешняя форма <р
на М' порождает внешнюю форму на М, задаваемую соотношением
t j f<p(z) = Tf(t) p(f(z))
для всех элементов t ? ТМ над одной и той же точкой z ? М. Она называется
индуцированной формой (pullback form) на М. Например, всякая пфаффова
форма
ф(г') = ф,(г')с1г^
на многообразии М' порождает пфаффову форму
ГФ(г) = ФЛ№) dzx
на многообразии М. Процедуру построения индуцированной формы легко
распространить на внешние формы произвольной степени, используя
соотношения
Г(ФлФ') = ГФ*ГФ',
ГЩ) = й(Гф).
В отличие от внешних форм, аппарат векторнозначных дифференциальных форм,
хотя он давно разработан, не столь широко освещается в стандартных
учебниках по дифференциальной геометрии и тем более мало известен
физикам. В то же время вектор-нозпачные формы на многообразиях и
расслоениях составляют основу математической техники, которую мы будем
использовать.
Тангенциально-значной формой (tangent-valued form) степени г на
многообразии М называется сечение расслоения
т
Д Т*М (g) ТМ -*¦ М, которое в голономных координатах имеет вид
Ф = Ф\,...\Лг)<12Х' А ... A dzXr (r) dtl.
Пример 1.4.3. Легко видеть, что тангенциально-значными 0-формами являются
