Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
порядка.
Определение 1.5.4. Многообразие струй k-го порядка JkY расслоения F -> X
состоит из классов эквивалентности jks, х ? X, сечений s расслоения F
таких, что сечения s и s' принадлежат одному и тому же классу jks тогда и
только, тогда, когда их значения и значения их частных производных до k-
то порядка включительно совпадают в точке х. Это многообразие является
конечномерным и удовлетворяет всем условиям, которые мы предъявляем к
многообразиям. ?
52
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Аналогично случаю к = 2 определяются повторное многообразие к-струй
J'Jk~'Y, полуголономное многообразие к-струй J^Y и к-струйное продолжение
Jks сечения s расслоения Y -> X до сечения расслоения JkY -> X.
Ключевым для развития аппарата струй стало его применение в теории
дифференциальных операторов. Оно основывается на следующем определении.
Определение 1.5.5. Пусть JkY - многообразие fc-струй расслоения Y -> X и
Е -> Y - векторное расслоение над У. Всякий послойный морфизм
Z\JkY->Е (1.62)
у
над У называется дифференциальным оператором к-ro порядка на сечениях
расслоения У или просто на расслоении У. Он отображает всякое сечение
s(х) расслоения У -" X в сечение (?f о Jks)(x) расслоения Е -> X. ?
Дифференциальные уравнения в таком подходе возникают как условия на ядро
дифференциального оператора. Пусть ?г - дифференциальный оператор fc-
порядка. Говорят, что сечение 5 расслоения У -> X удовлетворяет
соответствующей системе дифференциальных уравнений,если
Jfcs(X) С КегД.
Коротко это можно записать как
• ' О JkS г : 0.
В теории поля мы имеем дело с дифференциальными операторами и
дифференциальными уравнениями, как правило, не выше второго порядка.
§6. Связности на расслоениях
Конструкция связности обобщает операцию параллельного переноса в
евклидовой геометрии на многообразия и расслоения. Поясним необходимость
и характер такого обобщения следующими простыми рассуждениями.
В евклидовой геометрии параллельным называется перенос вектора, при
котором направление вектора сохраняется. На плоскости, например, его
можно определить как перенос вдоль прямых так, что угол между вектором и
прямой постоянен. На искривленной поверхности роль прямых играют
наикратчайшие линии, например, дуги большого круга на сфере. Тогда
параллельный перенос касательного вектора к поверхности можно описать как
его перенос вдоль наикратчайших так, что угол между вектором и
наикратчайшей остается неизменным. Однако сам вектор при этом
поворачивается. Изменение касательного вектора при параллельном переносе
и описывается введением связности. В дифференциальной форме это можно
сделать заданием оператора поворота Г векторов т при переходе из точки с
координатами в точку с координатами + dx*, а именно:
Г(тм) = тм - Т* а1/та dxu. (1.63)
Изменение вектора может быть оценено только путем его сравнения с
некоторыми базисными векторами. Однако, если в качестве таких базисных
векторов взять, например, касательные векторы к наикратчайшим,
переносимый, вектор относительно них поворачиваться не будет, т. е.
связность в такой системе отсчета как бы становится тривиальной. Этого
можно избежать, если переносимый вектор сравнивать с самим собой до и
после переноса по замкнутому контуру. В отличие от плоскости, на
искривленной
§ 6. Связности на расслоениях
53
поверхности эти два вектора не совпадают, и их отклонение друг от друга
характеризуется кривизной поверхности.
Изменение вектора при параллельном переносе сказывается и на операции
дифференцирования. Действительно, дифференцирование определяется как
предел
т(х + dx) - т( х)
lim --------VT~\-------•
И*|-о \йх\
Но векторы т(х + dx) и т(х') заданы в разных точках, и чтобы их вычесть
друг из друга, вектор т(х) надо сначала перенести в точку х + dx
посредством связности (1.63). В результате операция дифференцирование при
наличии связности принимает вид
D"t* = д1У, + Г,в"т".
Производная D" называется ковариантной производной и может
рассматриваться как генератор параллельного переноса вдоль координатной
линии х".
Все эти наглядные соображения применимы и для связности на расслоении. На
расслоении 7Г : Y -> X параллельный перенос можно представить как
сопоставление всякому пути 7([а, Ь]) в базе X семейства отображений
e~t(tut2) ¦ ^Т(Ц) * ^7(Ь)!
слоев Vlit) расслоения Y над точками этого пути. При этом имеют место
естественные соотношения
?Ч((|.42) ° - 3)j
'г) ~ *|)'
Пусть v - некоторая точка слоя VlW. Тогда множество образов v(t) точки v
при отображениях t ? [а, Ь], образуют некото-
рый путь
Ql(a,t)iV) : [", b]^Y в расслоении Y. Поскольку
к(е-,(у)) = 7,
такой путь называется накрывающим путь 7 в базе X. Подобные пути,
накрывающие 7, выходят из каждой точки слоя Поэтому в инфинитезимальной
форме задание связности на расслоении Y можно наглядно представить как
задание в каждой точке у ? Y направления, в котором она будет
переноситься в многообразии Y, если ее проекция л (у) переносится в
