Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, доказательство того, что Ia — симплекс Шоке и грань множества I, совпадает с доказательством следствия 3.14.
6.15. Замечание
Предположим, ЧТО -P(O) < +(X) и что для ВСЯКОГО (Т Є I
h(cr) = inf [P(A) — (т(А)\. (6.18)
6.16. Коммутирующие непрерывные отображения
145
Тогда энтропия //, будучи точной нижней гранью непрерывных функций, полунепрерывна сверху. Таким образом, в силу теоремы 6.14(c) условие (6.18) эквивалентно полунепрерывности сверху функции h.
К рассматриваемому случаю применима теорема Израэля (приложение А.3.6), позволяющая аппроксимировать инвариантные состояния равновесными состояниями. В частности, справедливы следующие аналоги теоремы 3.16 и следствия 3.17.
Пусть энтропия hT конечна и полунепрерывна сверху. Тогда для любых Аєс?,сгє1иє>0 существуют такие А' Є cS и Cr' Є Iai , что
\\<т' — с|
и
\\А> ~А\\ < lip(A) -O-(A) — hT(cr)\.
Объединение множеств Ia по всем А Є cS, т. е. множество всех равновесных состояний, всюду плотно в I относительно топологии, порожденной нормой.
Если pi, ..., рп — эргодические состояния, то существует функция А є ЧИ, для которой pi, ..., рп є Ia-
6.16. Коммутирующие непрерывные отображения
Если вместо Х^-действия т на Г2, порожденного и коммутирующими гомеоморфизмами, даны и коммутирующих непрерывных отображений, то мы можем обобщить на эту ситуацию большинство предыдущих результатов данной главы (это отмечено в параграфе 6.18). Для простоты мы опускаем здесь рассмотрение свойства разделимости траекторий.
Заметим, что отображение Tx теперь определено только при х Є Z> = = {х Є Z" : Xi7 ..., Xv ^ 0} и, таким образом, тх является Z^-действием. Сейчас мы покажем, как связать его с некоторым Z"-fleftcTBHeM.
6.17. Продолжение до Ж"-действия
Вначале положим
Ю'= П тхП. (6.19)
Ограничим Z'^-действие т на Г2\ Очевидно, отображение тх: ?1' —> при каждом х Є Z> является эпиморфизмом. Построим теперь компактное
146
Глава 6
метризуемое пространство О с Ж"-действием т и непрерывное отображение 7Г: О 1 ' Cl, для которых
7tQ = Cl'
и ттта = татт при а Є Z^.
Положим
О = {(?*) Є [Cl'fl : т“*а_а = ?,, если а Є Z^ и х Є Z^j.
Множество Cl компактно и метризуемо, как замкнутое подмножество счетного произведения компактных метризуемых множеств. Положим также
Т<1~ЬЮ = (?), где Vx = та?,х-Ъ1 ь Є
Корректность этого определения легко проверить и мы получаем, таким образом, Z1^eficTBHe гомеоморфизмами тх пространства О- Наконец, положим
= ?о-
Ясно, что ттта = татт при а Є Z^. Кроме того, нетрудно проверить, что
7гГ2 = SI'.
Если сг — т-инвариантная вероятностная мера на Г2, то supp сг С Cl'. В силу теорем Хана-Банаха и Маркова-Какутани4 существует такая вероятностная мера ст на О, что тта_ = ст и тха_ = ст при всех х Є Z>. Тогда тхст = ст при х Є Zv (так как тх гомеоморфизмы пространства Cl). Такая мера ст единственна, так как множество функций А о ж о тх, где А Є и ж Є ZIj, всюду плотно в пространстве c^(Sl). Следовательно, отображение тт: ст ст является биекцией множества т-инвариантных состояний на Cl на множество т-инвариантных состояний на Cl (это отображение — аффинный гомеоморфизм).
6.18. Результаты для Z^-действий
Как уже говорилось, мы не будем касаться разделимости траекторий для Z^.-действий. Все остальные определения и результаты параграфов 6.1, 6.3, 6.4 и 6.5 переносятся на рассматриваемый случай, но со следующими уточнениями.
(а) Мы определяем и рассматриваем 21Л только при Л С Z>.
4Cm. приложения А.3.2 и А.3.4.
6.18. Результаты для !^-действий 147
(Ь) Если cr Є I и состояние <т получено при помощи конструкции
параграфа 6.17, то
Н{а, SIa ) = Я(<х, TT-1VIa) = H(<х, (Ti--1SQa)
и из существования предела (6.3) следует, что
h(<r, 21) = /і(ст, 7г-121).
В силу (6.4) для любого конечного Л С Z"
7г_121) = h(<r, (7r_1Sl)A).
Так как величина diam(7r_1Sl)A произвольно мала при достаточно малом diam 21 и достаточно большом Л, справедливо предложение 6.5(a) и, следовательно,
h(cr) = h(c.г). (6.20)
Относительно определения давления в параграфе 6.6, заметим, что ра-
венство (6.6) не обязано выполняться для Z^,-действий, однако при Л С Z^. и х Є Z> справедливо неравенство
Za+x(A, 21) ^ Za(A, 21),
так как Tx С Г2. Поэтому функция а н-> log Za^ (А, 21) остается субад-дитивной и и сохраняются соотношения (6.8) и (6.10). Кроме того,
P(ASl)= Iim IA(O)I-1IOg^w(A1Sl),
а—>оо у >
где
Z*a(A, SI) = Iim Za+x(A, SI).
X—*00
Обозначим через Z'a(A, SI) статистическую сумму, вычисленную для ограничений А и SI на О! (см. (6.19)). Тогда
Z'a(A, SI) = Za{A О 7Г, TT^1Sl)
и
Z'a(A, SI) < ZX(A, SI) < Z'a(A, Sl)e'Al'5,
где 5 — максимум колебаний функции А на множествах Slj. Поскольку diam(7r_1Sl)A произвольно мал, если diam SI достаточно мал, а Л достаточно велико (см. § 6.6), можно утверждать, что
Iim Р(А о 7г, -7Г-1 SI) = Р(А о 7г).
diam 121—
148
Глава 6
Поэтому выполняются равенства (6.11) и
P(A) = P(Aotv).
(6.21)
