Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
J Qada = s (а)
(см. Биллингслей [1], § 13).
Пусть Ф є и а — соответствующее гиббсовское состояние. Доказать, что да продолжается до непрерывной функции на пространстве Cl, для
126
Глава 5
которой мы используем то же обозначение да, причем
^>(т_1(?о V ?>))exp[-?7{o}(?o) -w{0}iZ> (?0 V ?>)]
9 АО = - log-
А • -ф>(Ь)
Доказать, что J да> da' ^ J да da' при всех а' Є /, а равенство выполняется лишь при cf' = а (см. Пэрри [2], а также Кин [1] и Ледрапье [2]).
3. Пусть Ф, Ф' Є t), где (Ось t) — перемешивающая система, и
а, а' — соответствующие гиббсовские состояния. Доказать, что
(a) если А Є cS(Cly) и гг ^ 0, то
а (А о az>) = а((УпА) о az>).
Если А, В Є cS(Cty ), то
сг ((А о az>) ¦ (В о az> ° тп)) = а(((УпА) о az>) ¦ (В о az>)).
(b) Положим
о
ф_ф' о т
Zn = сг (exp ^ Аф'-ф о г3
X = I
и определим меру а как слабый предел:
о
сг = Iim (Z +1) 1Jexp У Аф_ф/ о тх J • сг' =
п—>ОО ' \ J
х = — п
п
= Iim (^п)_1(ехрУ' Аф,-ф OTxV о-.
п—>+оо \ z—^ /
X = I
Показать, что
та = а ¦ ехр[Аф/ — Аф — Рф + Рф].
(Утверждение (Ь) принадлежит Синаю: см. Гуревич и Оселедец [1]. Для существования и равенства использовать лемму 5.9(a). Очевидно, та = = Cexp Аф,_ф-а, где С = Iim Z~+1/Z~ = Iim (Z~)x!n = exp(Рф—Рф )
TL—^OO ~ TL—^OO
в силу предложения 4.4.)
Упражнения
127
4. Пусть Ф Є 5Se(Oo, t), где (Оо, t) — перемешивающая система и сг — соответствующее гиббсовское состояние. Доказать следующие утверждения.
где действительные числа а, Ь не зависят от А и то, причем Ъ > 0.
(c) (Экспоненциальное убывание корреляций.) Если 0 ^[-т+1,0]
и 0 Sj В Є ^[п+1, п+ш]» то
|сг(АВ) - сг(А)сг(В)| Sj еа~Ьпсг{А)сг(В).
(d) Если A Є ^(-oo,o] иВ Є Щп+i'oo), то
|сг(АВ) - Ct(A)Ct(S)I Sj е“_г,исг(|А|)ст(|В|).
(e) При b' < min(6, 2| log 'у I) существует такое действительное а', что если А, В Є &~л, то
При фиксированных в и M >0 постоянные а' и // можно выбрать так, что это неравенство будет выполняться для всех Ф с 11Ф110 sj М.
[Утверждение (а) вытекает из доказательства леммы 5.23, причем с можно сделать непрерывной функцией от 11Ф110 при фиксированном в. Из (а) и предложения 5.24 вытекает утверждение (Ь), в котором а и b могут быть выбраны непрерывными функциями от ||Ф||е (чтобы убедиться в этом, используйте аналитичность по Ф Є SSg/, гДе $ < в' < 1, и тот факт, что множество {Ф: ||Ф||е ^ М} компактно в Sftgi). Утверждения (с) и (d) получаются из (Ь) и упражнения 3(a). Чтобы доказать (е), представьте функции А и В в виде A = Y^ An, В = Bn, как в доказательстве предложения 5.20.]
5. Пусть (Оо, t) — перемешивающая система и ст п \ — единственное равновесное состояние для А Є ,9е. Для Bi, ..., В; Є ,9е положим
(a) Если 0 ^Ae ^(O1Iim]), то \\^т{Аоа[1)т]л>)\\в < са(Аоа[1<т]) при некотором с, не зависящем от А и то.
(b) Если O^Ae ^(0[ijm]) и ст(А о Qqijln]) > 0, то
5™+"(Аоа[і,та],2>) i <е,
(j(A О т])
а(А • (В о Tx)) - а(А)сг(В)\ < еа,-6/|ж|||А||7||Б||7.
P (^A + SiB^j
Si= .
128
Глава 5
Тогда
(a) D1(Bi) = cr(Bi);
(b) D2(Bi, B2) = E HBi ¦ (B2Orx)) - CT(Bi)CT(B2)];
хО.Ъ
(c) отображение Bi D2(Bi, Bi) определяет положительно полу-
определенную квадратичную форму на Se. Его ядром служит множество {с + С о т — С: с Є R, С Є Se}, которое, тем самым, не зависит от
функции А. Кроме того, существует такое R > 0, что [D2(Bi, Bi))1/2 Sj
^ -R| I-Bi Ile-
(d) При всех р Є R (mod 2тг)
Ye-lpxHBi • (B1 О Tx)) - CT(Bi)CT(Bi)) > 0.
xGZ
С учетом упражнения 4(e) утверждение достаточно доказать (Ь) в случае, когда А, Bi, B2 Є ‘Й’л, где Л — конечное множество. Перейдя к Z-изо-морфной системе (см. доказательство следствия 4.10(b)), можно считать, что
А = Аоащ, Bi =Bi о ащ, B2 = B2 о ащ,
где А, Bi, B2 Є c^(Oo)- Положим U(So) = ехр[А(?0) + S-B2(^o)] и
определим на пространстве вероятностную меру cr„jS так, чтобы
сгИі s{(?-и, • • •, ?„)} было пропорционально произведению
u(S-n)k_ni_n+1 u(S-n+i)... t(n_l(n U(Sn).
В силу единственности гиббсовского состояния термодинамический предел мер CTrtj3 равен cta+sb2- Нетрудно проверить, что
П
° ^(O)J-TijTi]) ^ ^ [<ТпА(В1 ° ^{0},[—Ti,n])(-^2 ° <^{х},[-ті,ті]))
CC = -Tl
— CrTi, s (-? ° ^{0}, [—ті, Ti] )<Гщ s (-? ° х}, [—п, п] )] •
При |ж| —> оо выражение в квадратных скобках экспоненциально убывает равномерно по п (и по s при достаточно малых s). Поэтому
n!™o ds^'8^1 I-"-"]) =
= ^2^аА+8В2 (Bl ¦ (^2 ° ~ aA+sB2 (Bi)crA+sB2 (B2)],
XtzrL
Упражнения
129
и, следовательно,
A+sB2{Bl) = y^\<TA+sB2(Bi ¦ (B2 о Tx)) - <?A+sB2(Bl)cr A+sB2(B2)],
(*)
что доказывает (Ь). Неравенство D2(Bi, Bi) ^ О следует из выпуклости Р. В частности, если D2(B\, Bi) = 0, то D2(B\. B2) = 0. Равенство (*) позволяет с помощью индукции по I вычислить D1 и установить, что если D2(B\1 Bi) = 0, то Dl(Bi, Bi) = О при I Js 2. Следовательно, dt&A+sB! (B2)/dsl —> О при S = OhZ 1, атак как s н-> <ta+sBi (B2) — веще-ственно-аналитическая функция, она является константой. Вид ядра отображения Bi н-> D2(В\, Bi) определяется теперь при помощи теоремы 5.21. Оценка D2(Bi, Bi) ^ R2(\\Bi\\g)2 следует, например, из упражнения 4(e). Чтобы доказать утверждение (d), заметим, что в пространстве L2(Cl, сг) существует унитарный оператор V, для которого VI = ImVB = Вот. С его помощью рассматриваемое выражение можно представить в виде
