Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы воспользуемся метрикой d, совместимой с топологией пространства П, но результаты не будут зависеть от конкретного выбора метрики.
6.2. Разделимость траекторий
Ж"-действие т на пространстве Г2 называется разделяющим траекто-рии\ если существует такое є > 0, что
(с?(тж?, тхг,) ^ є при всех х Є Z") => (? = г,).
1В оригинале — expansive. — Прим. ред.
134
Глава 6
Число є называется разделяющей константой (относительно метрики d). Нетрудно проверить, что действие т на пространстве О, рассмотренное в главе 3, разделяет траектории.
Предположим, что т разделяет траектории и є — разделяющая константа. Тогда для любого <5 > 0 найдется такое L > 0, что
(<d(rxтхг]) ^ є при всех \х\ ^ L) => (d(?, rj) < <S). (6.1)
(Это вытекает из компактности пространства Г2.)
6.3. Покрытия
Семейство 21 = (?, j подмножеств пространства Г2 называется покрытием, если IJ 21 і = называется конечным покрытием, если множество
І
индексов г конечно, и открытым (соответственно, борелевским, измеримым) покрытием, если Slj — открытые (соответственно, борелевские, измеримые) множества. Разбиение — это покрытие, для которого 21* (~)2lj = 0 при г ф j.
Пусть 21 = (?,j и fB = (fBj) — покрытия пространства Г2. Покрытие 21 V S состоит из множеств 21 і П fBj. Это определение распространяется на любое конечное число покрытий. Покрытие г '21 состоит из множеств т J:2l,. Положим
21л = У т~х21,
ссЄА
21 = card{«: 21* ф 0}, diam 21 = sup diam 21 %,
г
где diam 21^ — диаметр множества 21^ относительно метрики <±
Пусть 21 = (21,) — открытое покрытие компактного метризуемого множества Г2. Тогда существует такое <5 > 0 (число Лебега), что если diam X < <5, то X С 21* при некотором г. (Это вытекает из компактности Г2.)
Предположим, что т — разделяющий гомеоморфизм с разделяющей константой є и diam 21 ^ є. Тогда для всякого <5 > 0 существует конечное множество Л С ТУ, для которого
diam2lA < 5. (6.2)
(Это следует из (6.1).)
6.4. Энтропия 135
Если 21 — покрытие пространства Г2 и *23 — подсемейство семейства 21, также являющееся покрытием Г2, мы будем говорить, что — подпокрытие. Очевидно, |S| ^ |21|.
6.4. Энтропия
Для меры сг G I и конечного борелевского разбиения 21 пространства Г2 положим
Н(<т, 21) = -]>>(21г)1оё<т(21г)
І
(где OlogO = 0). Тогда существует предел
Mo1, 51) = Hm 4тЯ(сг, 21л) = inf т^-Н(сг, 21л). (6.3)
v л/оо |Л| 4 л IЛ ' V '
(Доказательство. Следуя главе 3, положим О = (?)2 > гДе = {21^}. Существует такая мера сг Є I2 что Н(сг, 21Л) = S(aact) для всех конечных AcZ17H1 значит, можно применить теорему 3.10.) Нетрудно проверить, что для любого непустого конечного Л С Z1"
hT(а-, 21) = hT(а-, 21Л). (6.4)
Величина
h(cr) = hT(a) = suphT(cr, 21) a
называется (средней) энтропией меры <т; это неотрицательное число или +сю. Энтропия является инвариантом абстрактной динамической системы (Г2, сг, т) (при V = 1 он называется инвариантом Колмогорова-Синая).
6.5. Предложение
Пусть сг Є / и 21 — борелевскоеразбиение пространства ?1. Тогда
(a) hT(cr, 21) —> h(cr) при diam2l —> 0, вследствие чего функция hT(-) аффинна на I;
(b) если т разделяет траектории и є — разделяющая константа, то hT(cr, 21) = hT(cr) при diam2l ^ є, в частности, если т разделяет траектории, то функция /іт(•) полунепрерывна сверху на I.
23десь и ниже используются обозначения главы 3; в частности, I — это множество т-инва-
риантных мер на О. — Прим. ред.
136
Глава 6
[Доказательство, данное Боуэном (см. [6], §2А) для ь> = 1, легко распространяется на общий случай. Вначале доказывается (см. упражнение 1), что
hT(cr, 21) - hT (сг, ») < Я (сг, 21 V S) - Н(сг, ®), (6.5)
а затем — тот факт, что при любом 21 (неотрицательную) правую часть неравенства можно сделать как угодно малой, выбрав diam® достаточно близким к нулю. Отсюда следует утверждение (а). В условиях утверждения (Ь) из (6.2) и (6.4) следует, что Jit(сг, 21) = hT(cr) при diam21 ^ є. Для любого р Є I покрытие 21 можно выбрать таким, что diam 21 < є и границы элементов 21 і покрытия 21 имеют р-меру 0. Тогда функция сг Я(<т, 21Л) непрерывна в точке р при каждом Л и, следовательно, в силу (6.3) энтропия Jit(¦) = hT(-, 21) полунепрерывна сверху в той же точке3.]
6.6. Давление
Пусть 21 — конечное покрытие пространства Cl. Для всякой функции А Є Ч) и всякого конечного множества Л С Zv определим статистическую сумму
Za(А, 21) = min exp sup
j x<zA
{Sj} — подпокрытие покрытия 21Л j.
Очевидно,
Za+x(A, 21) = Za(A, 21). (6.6)
Нетрудно также проверить, что если Л і П Л2 = 0, то
Za1UaM, 21) < ZAl(A, 21) • Za2(A, 21)- (6-7)
Положим
Р(А, 21) = Iim |Л(а)|-1 logZA(a)(А, 21) = inf |Л(а)|-1 log гЛ(а)(А, 21).
a—»оо a
(6.8)
То, что предел существует и равен inf, следует из субаддитивности функции а log Za(0)(A, 21), которая имеет место в силу (6.6), (6.7) (см. приложение А. 1.4). Очевидно,
ехр(—|Л| • |А||) < Za(A, 21) < (|21| ехр ||А||)1Л1. (6.9)
3Cm. приложение А. 1.3. —Прим. перев.
