Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
В этой главе мы следовали в основном изложению Боуэна [6], за исключением простого доказательства второй половины теоремы 6.12, найденного Денкером [1]. Другое очень простое доказательство всей теоремы принадлежит Мисюревичу [1]. Теорема 6.14 в данном контексте, по-видимому, является новой. За остальными подробностями рекомендую обратиться к работе Боуэна [6].
Упражнения
1. (Cm. Боуэн [6], леммы 2.2 и 2.3.)
(а) Пусть 21/, 21", 23 — борелевские покрытия пространства П. Тогда
H(сг, 21' V 21" VS)- Я (сг, 21'VS)- Я(сг, 21" VS) + Я(сг, S) < 0
(новая форма сильной субаддитивности энтропии, см. (3.22)). Это неравенство можно переписать в виде
Н{а, 21' V 21" VS)- Н{а, S) <
< Н{а, 21 'VS)- #(<т, S) + Н((т, 21" VS)- Н{а, S).
152
Глава 6
Следовательно, если 21, ® — борелевские покрытия, то Я(сг, 21л) - Я(сг, ®л) < Я(сг, 21л V ®л) - Я(сг, ®л) <
< ^[Я(<т, (т-ж21) V ®л) - Я(<т, ®л)] <
хеА
< ^[Я(<т, (т-ж21) V (т~Х(В)) - H{а, т~ж®)] =
шЄЛ
= |Л|[(Я(ег, 21 VsB) -Я(сг, sB))].
Отсюда вытекает неравенство (6.5).
(Ь) Пусть заданы 21, сг и є > 0. Тогда можно выбрать <5, для которого
Я (сг, 21 V sB) — Я(сг, ®) < є,
если diam ® < <5.
[Обозначим через Д симметрическую разность множеств: AAB = = {A U В) \ {А П В). Найдется такое а > 0, что если 21' — разбиение, элементам которого отвечает то же множество индексов, что и элементам 21, и
сг(21і Д 21') < а при всех г, (*)
то
Я(<т, 21V 21') - H (а, 21') = - ? <т(21г П 2l'fe) log g(^,ffc) < є.
і,к а\Лк)
Если (5 достаточно мало и diam ® < <5, то существует разбиение 21', являющееся укрупнением разбиения ® (т. е. элементы 21' — объединения элементов ®), для которого имеет место (*). В таком случае
Я(сг, 21 V ®) - Я (сг, ®) = Я (сг, 21 V 21' V ®) - Я(сг, 21' V ®) <
< Я(<т, 21V 21') - Я(<т, 21') < є).]
2. В параграфах 6.6 и 6.7 мы определили соответственно величины Za и і = 1, 2, 3. Положим
Z{2)'a{A, є) = Y exp Y А(тХ0,
?eS шЄЛ
где S — произвольное максимальное (Л, є)-разделенное множество.
Упражнения
153
Докажите, что
(a) Za' ^ Za ’ ^ Za (всякое максимальное (Л, е)-разделенное множество является (Л, е)-плотным).
(b) Z{A\A, diam21) < Za(A, 21).
(c) Za\a, 21) ^ Za\a, 5/2), если 5 — число Лебега для 21.
(d) Справедливы утверждения параграфа 6.7.
( 2^
(e) Можно определить P в терминах Za .
3. Пусть Cl, — метризуемые компактные множества с -действиями гит* соответственно и /: Cl* > Cl непрерывное отображение, для которого / О т*х = Tx О f.
(a) Если сг* — т*-инвариантная вероятностная мера на Cl*, то Iit. (сг*) > ^ Zir(/сг*). В случае, когда / инъективно, выполняется равенство.
(b) Если А — непрерывная действительная функция на Cl и отображение / сюръективно, то
Pt(A) < Pr. (A of).
(c) Если А — непрерывная действительная функция на Cl и отображение / инъективно, то
Pt(A) ^ Pr, (A of)
(Рт-(А о /) — это давление, отвечающее ограничению функции А на множество fCl*). В случае, когда носитель любой т-инвариантной меры содержится в fCl*, справедливо равенство.
4. Предположим, что Cl = IJ где множество Cl^ замкнуто и
а
т-устойчиво (т. е. TxCl (“) с Cl^ при всех X Є Z>). Тогда Pr (А) есть точная верхняя верхняя грань по а давления функции А, ограниченной на С1^а\ (Выберем такое сг Є I, что P(A) < h(cr) + а(А) + є, и разложим сг на меры с подходящими носителями; см. Уолтерс [1], следствие 4.12(і).)
5. Пусть f2i, Cl2 — метризуемые компакты с Z>-действиями т\, т-2 и пусть тх = Tf X т2 на Jl1 х СІ2- Если A1 Є cIa(Cli), A2 Є *?(Cl2) и А(?1; ?2) = A(S1)-M(^2), то Pr(A) = Pti (Al) +РТ2(A2). (Ср. Уолтерс [1], теорема 2.2 (viii). Воспользуйтесь определением давления в терминах Zilil, чтобы доказать неравенство Pt(A) ^ Pri(A1) + Pr2(A2), и вариационным принципом — для доказательства обратного неравенства.)
6. Если P(O) < +оо, то
{сг Є Ч>*: сг(А) ^ P(A) при всех А Є = I.
154
Глава 6
7. При P(O) < +оо определим множество Ia при помощи (6.17). Покажите, что Ia С Ia и множество D' = {А Є card I'A = 1} является массивным.
Покажите, что Ia совпадает с множеством Ia всех предельных точек последовательностей сгп, для которых Iim [h(an) + crn(A)] = P(A).
п—»оо
[Пусть сг = Iimcrn, где h(crn) + сгп(А) > P(A) — 1/п. Так как Р(А + + В) ^ h(crn)+crn(A+B) ^ Р(А)+СТп(В) — 1/пдЛЯВСехВ Є cIa,тост Є Ia и, следовательно, Ia С Ia. Поэтому из AgD' вытекает Ia = Ia. Чтобы доказать в общем случае включение 14 С 1I используйте тот факт, что Ia содержится в замкнутой выпуклой оболочке множества предельных точек последовательностей сгп, где сгп — единственный элемент множества Ia , An Є Dr и An —> А (см. приложение А.3.7.).]
Глава 7
Статистическая механика на пространствах Смейла
Как мы убедились в главе 6, часть термодинамического формализма можно распространить на случай произвольного Z"-fleftcTBPM гомеоморфизмами компактного метризуемого пространства В этой главе мы обобщим более богатый формализм одномерных систем из главы 5 на некоторый класс Z-действий гомеоморфизмами компактных метрических пространств. Такие Z-действия впервые изучались в теории диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А Смейла [1]. Мы представляем здесь абстрактный вариант той части теории, которая имеет отношение к предмету этой книги. За доказательствами будем отсылать главным образом к публикациям по А-диффеоморфизмам. Эти публикации, в особенности работы Смейла [1] и Боуэна [6], содержат также соответствующие мотивировки. Главный новый излагаемой теории — это предположение о наличии структуры локального произведения. Пространство Г2 «расслаивается» на «устойчивые многообразия» Vx , которые экспоненциально быстро сжимаются под действием итераций отображения /, и «неустойчивые многообразия» V3T, которые сжимаются под действием итераций отображения /_1. Если точки х и у достаточно близки, то пересечение Ij+ П V~ не пусто и состоит из единственной точки [х, у]. Структура локального произведения определяется тогда отображением х, у —> [х, у].
