Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
отличие от эккартовской задачи, наличие стенок (трубы) здесь не является
обязательным. Полная система уравнений для течения должна быть записана в
цилиндрических координатах (VIII.2.1)-(VIII.2.3). Рассматривая течение
вблизи оси (г -> 0), потребуем, чтобы при г. = 0 выполнялись следующие
условия (по существу, соотношения симметрии):
Рис. VIII.4. Линии тока для модели затопленной струи.
Uт |г=о - 0)
дг
0.
(VIII.3.26)
При этом уравнения (VIII.2.2), (VIII.2.3) приводят к очевидному
соотношению (др/дг)г=0 = 0, а уравнение
(VIII.2.1) после раскрытия неопределенности
dU Jг дг
*) Нелинейные двумерные течения рассматривались также в работе [137].
214
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
принимает вид
dt 1 w дх * K"'J po dx 1 dx2 1 "v 3r2
(VIII.3.27)
Здесь и ниже C7K обозначается просто через U.
В случае малости радиуса звукового пучка по сравнению с поперечными
размерами системы член dpjdx пренебрежимо мал и может быть положен равным
нулю. Ограничиваясь, по существу, качественным рассмотрением проблемы,
предположим, что решение исходной системы уравнений можно с достаточной
степенью точности записать в виде U (г, х, t) = / (г) U (х, t).
Будем нормировать функцию / (г) так, чтобы выполнялось условие / (0) = 1.
Заметив, что скорость потока на оси имеет максимум и обозначая Ъ2 = - 2/"
(0), приведем (VIII.3.27) к виду
4^+ f=F(x).+vb'U. (VIII.3.28)
Уравнение (VIII.3.28) является асимптотическим и справедливо только на
оси звукового пучка. При отсутствии нелинейного члена UdU/dx оно
представляло бы собой обычное уравнение теплопроводности для
полубесконеч-ного стержня с неравномерно распределенными источниками
тепла, на боковой поверхности которого происходит теплообмен с окружающей
средой.
Пусть значение гидродинамического числа Рейнольдса R <С 1. Тогда
нелинейным членом в уравнении (VIII.3.28) можно пренебречь. Примем силу,
вызывающую поток, в виде
F(x) = Aert*. (VIII.3.29)
Если она вызвана поглощением звука малой интенсивности, то константа (3 =
2х (см. (VIII.1.13)). Для силы, вызванной звуком конечной амплитуды,
значение |3 целесообразно подбирать на основе экспериментальных данных.
Решение линеаризованного уравнения с учетом выражения
§ 3. НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
215
(VIII.3.29) имеет вид
и " 0-Г.. [1 - Ф (ЩД - _^)|.-
О
- ег,^1 _ ф (р Yrt + -jy=^dl. (VIII.3.30)
г
Здесь Ф(z) = -^г=т^е~у2<1у. Выражение (VIII.3.30) удовле-
О
творяет нулевым граничным условиям U (0,t) = U(yo,t) - 0 и начальному
условию U (х, 0) = 0.
Процесс нарастания скорости акустического ветра, определяемый решением
(VIII.3.30), носит сложный характер. Время установления стационарного
течения определяется несколькими факторами и не сводится к простой
формуле (VIII.2.22), справедливой для эккартовской задачи. Так, при
слабом поглощении звука (|3 -* 0) характерное время установления можно
оценивать выражением ~ 1 /v62 (напомшга, что 1/6 - размер поперечной
неоднородности потока), а при сильном поглощении ((5 -> ос) - выражением
т2- l/v[32. Однако следует заметить, что оба механизма в решении
(VIII.3.30) действуют одновременно и, кроме того, т зависит от координаты
х (поскольку в решение входит величина т3 ~ x2/v). Поэтому более точные
оценки можно дать лишь с помощью численного расчета в каждом конкретном
случае [105].
Покажем, что процесс установления скорости потока, определяемый
выражением (VIII.3.30), является монотонным, т. е. dU/dt 0 для любых
значений х, t. Действительно, функция, стоящая под знаком интеграла в
фигурных скобках, положительна при любых значениях ?, поскольку
производная по от этой функции всегда отрицательна, тогда как сама
функция положительна при ? = 0 и стремится к нулю при ? -> ос. Это и
доказывает сделанное выше утверждение.
Переходя в формуле (VIII.3.30) к пределу при г -> оо или решая
соответствующее стационарное уравнение
v __ vb2U + Аег?* = 0 (VIII.3.31)
216
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
с краевыми условиями U (0) = 0, U (эо) = 0, получим выражение
и = Т(^г(е"Ря - >' (VIII.3.32)
которое описывает распределение скорости установившегося течения вдоль
оси х.
Как видно из формулы(VIII.3.32), при (3 Ъ (случай сильно поглощающей
среды) характер нарастания решения
а)
5)
Рис. VIII.5. Два этапа процесса установления скорости течения на оси
звукового пучка.
при малых х определяется законом затухания звука, тогда как при больших
значениях х экспоненциальный спад определяется характерным параметром Ъ
оттока импульса от оси системы. (Этот случай аналогичен модели
"затопленной струи".) При обратном соотношении |3<^ Ъ, т. е. в случае
слабо поглощающей среды, когда силы действуют на
§ 4. ДРУГИЕ ТИПЫ ТЕЧЕНИЙ
217
всем протяжении звукового луча, мы имеем противоположную картину.
Пусть теперь гидродинамические числа Рейнольдса велики: Л^>1. При больших
R пренебрегать нелинейным членом нельзя и нужно рассматривать уравнение
самого общего вида (VIII.3.28). Подчеркнем аналогию между уравнением
(VIII.3.28) и уравнением Бюргерса (II.1.10). Оно также описывает два
