Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
неправомерен, поскольку приводит к неоднозначным результатам.
Действительно, полагая, например, Ъ - р,2, при переходе к упрощенному
уравнению можно все члены уравнений (VII.4.3), (VII.4.4) умножить на
выражение вида 1 + (Av/c0), где А - константа. При этом изменится
нелинейная часть упрощенного уравнения, тогда как диссипативная часть
остается без изменений. Эта неоднозначность устраняется как раз благодаря
удержанию малых членов третьего порядка малости по диссипации.
Во втором параграфе были найдены соотношения, связывающие значения
гидродинамической скорости v и возмущения плотности р' в
ступенькообразной симметричной ударной волне (VII.2.11), (VII.2.12). Эти
соотношения неявным образом учитывают наличие отраженной волны.
Подставляя соотношение (VII.2.11) в выражение для скорости фронта, после
несложных преобразований приходим к результату, точно совпадающему с
формулой (VII.4.11).
Итак, при вычислении постоянной составляющей скорости оба метода дают
совпадающие результаты. Приращение скорости представляет собой
акустическое течение, имеющее место при распространении одиночного
стационарного скачка и являющееся следствием нелинейного са-мовоздействия
волны.
(VII.4.11)
196 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
Возвращаясь к волне синусоидального профиля, можно было бы все разрывные
участки волны заменить гладкой функцией, представленной на рис. VII.6.
Однако, в отличие от задачи второго приближения, когда положение фронта
однозначно определяется по равенству площадей,
в настоящей задаче такое построение неправомерно. Равенство площадей не
выполняется, и в соответствии с квазистационарным решением фронт волны
оказывается смещенным.
Синусоидальная волна во второй области распространения может быть
качественно представлена так, как это показано на рис. VII. 7. Такое
построение проведено на основе "сшивания" решений для первой и второй
областей распространения волны. Пунктирной линией отмечена постоянная
составляющая плотности. Это постоянное течение, существующее в области
распространения волны, естественно, затухает по мере ослабления звуковых
возмущений, когда эффекты третьего порядка малости пренебрежимо малы.
Волновые профили становятся симметричными, и при последующем рассасывании
фронтов волна вновь превращается в синусоидальную на расстоянии, не
зависящем от амплитуды сигнала на входе системы кх = 4 Re/M.
Постоянное течение, найденное во вспомогательной задаче для одиночного
стационарного скачка и не зависящее от ст, при переходе к периодическим
возмущениям обращается в нуль на конечном расстоянии от излучателя. Это
расстояние определяется диссипативными свойствами среды. Число фронтов,
участвующих в формировании отраженных волн, п - Rc/M (процесс
формирования течения рассматривался в § 2). Если учесть диссипативные
свойства среды, то интеграл в формуле (VII.3.2) нужно брать в конечных
пределах, и скорость постоянного течения обратится в нуль при значении
безразмерной координаты ст - Re.
Рис. VII.7. Один период достаточно интенсивной волны, гармонической на
входе в систему.
ГЛАВА VIII
АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
§ 1. Вывод системы уравнений для акустических течений
Распространение мощных звуковых волн в жидких и газообразных средах часто
приводит к появлению непериодических движений среды типа потоков. Точнее,
в каждой точке пространства полное возмущение становится суммой
Рис. VIII.1. Возникновение медленного течения на фоне осцилляций.
осциллирующего (с периодом звука) и некоторого квази-постоянного
движения, показанного на рис. VII 1.1 штриховой линией в несколько
преувеличенном виде.
Это полное движение можно усреднить по промежутку времени Т, кратному 2
л/со; Т должно быть много больше
198
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
периода осцилляций 2 я/со, но, с другой стороны, много меньше, чем
характерное время изменения скорости потока т. "Огрубляя" таким образом
истинный процесс, мы придем к гидродинамической задаче о течении вязкой
среды в поле внешних сил. Однако появление поля сил, а следовательно, и
течение, вызывается распространяющейся звуковой волной и определяется
акустическими характеристиками волны. Итак, при рассмотрении явления
"звукового ветра" акустические и гидродинамические параметры тесно
переплетаются между собой.
Исходная система уравнений состоит из уравнения движения в форме Навье -
Стокса:
^- + (rV)r = - 4- JL д" + I (g + тр) grad divv
(VIII.1.1).
и уравнения непрерывности
-g-+ div р?; = 0. (VIII.1.2)
Эта система может описывать произвольные движения сплошной среды. Для
изучения же медленных (по сравнению со скоростью звука) течений применимо
приближение несжимаемой жидкости. Как известно из гидродинамики [1],
считать жидкость несжимаемой (р = р0 = = const) можно при условии и/с0<ё:
1, где U - скорость потока. При этом уравнение (VIII.1.2) примет простой
вид
div U = О, (VIII.1.3)
а уравнение (VIII.1.1) перейдет в следующее:
ТГ + <ет)Р-Дмг"-7Г + *'' <VIIIX4>
