Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
упрощенными. Решение упрощенного уравнения с точностью до малых величин
третьего порядка малости имеет вид
cot = arcsin
Решение уравнения (VII.4.5), анализ которого удобнее всего провести
графически, уже указывает на несимметричный характер искажения профиля
волны. Отложим, как показано на рис. VII.5, а, по оси абсцисс значение
р'/ро, а по оси ординат - значение ют. Как видим, волновой профиль в
соответствии с формулой (VII.4.5) представляет собой сумму трех функций:
арксинуса, прямой и параболы. При этом тангенс угла наклона прямой
увеличивается по мере распространения волны от источника, и это
возрастание пропорционально х и амплитудному значению плотности волны на
входе системы.
Аналогичную зависимость по х обнаруживает и парабола, с той лишь
разницей, что здесь эффекты сказываются в следующем порядке малости -
пропорциональны квадрату амплитуды волны на входе системы. На рис. VII.5,
б представлена сумма всех трех функций, дающих профиль волны на некотором
расстоянии х от входа системы. Этот профиль сформирован из первоначально
синусоидальной
(Т + 1) (Т 4- 5)
Всор'ц
oxrp;2^)2. (VII.4.5) V Ро '
192 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
волны и может быть построен на любом удалении от источника вплоть до
точки формирования разрыва, когда функция становится многозначной.
На основе метода поэтапного упрощения эта вторая область распространения
волны может быть исследована с
Рис. VII.5. Несимметричный профиль волны в соответствии с решением
(VII.4.5): а) все три слагаемые формулы (VII.4.5); б) результирующий
профиль.
помощью вспомогательной задачи о распространении одиночного стационарного
скачка плотности в среде, т. е. мы ограничиваемся исследованием
стационарного решения уравнения (VII.4.3), когда производной по х можно
пренебречь.
Упрощенное уравнение имеет вид
(у -f-1) р' dp' Ъ г/у _ т - 1 Ъ / dp'
\2
2с0 'ро" dx 2с(r)р0 dx2 4 cjjpg V dx j
(VII.4.6)
§ 4. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ
193
В отличие от аналогичного уравнения второго приближения (II.2.7), правая
часть уравнения (VII.4.6) не равна нулю. Решение последнего существует
лишь при условии несимметричного скачка, и эта несимметрия сказывается в
следующем порядке малости, т. е.
р' = ро ПРИ т оо,
р' - - р0 - Д при X -> -¦ -О,
где
j.)'. (VI 1.4.7)
На рис. VII.6 построен профиль одиночного скачка плотности на основе
аналитического решения уравнения
Рис. VII.6. Несимметричный стационарный скачок плотности, движущийся со
скоростью си.
(VII.4.6). Приведенный скачок плотности - квазистацио-нарный фронт волны
- распространяется без искажения со скоростью с0, что при наличии
несимметрии эквивалентно появлению постоянного течения в направлении
распространения волны.
Действительно, вводя вместо х - t - (x/cQ) новую сопровождающую
координату х' = t - [х/с0 (1 -j- б)], где коэффициент б характеризует
приращение скорости распространения волны, можно получить вместо
(VII.4.6)
194 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
уравнение следующего вида: (у 4-1) р' dp' Ъ е?2р'
2с0 ро ~dxr 2cjjp0 *r'2
Уравнение (VII.4.8) по сравнению с уравнением (VII.4.6) содержит
дополнительный член, позволяющий найти решение, описывающее симметричный
профиль волны. Такое решение возможно при значении коэффициента
Следовательно, достаточно интенсивный симметричный одиночный стационарный
скачок распространяется со скоростью, большей скорости звука; это
приращение скорости пропорционально квадрату акустического числа Маха.
Качественная оценка изменения скорости распространения фронта волны
проводилась в монографии [7], формула (1.5.7). Однако при вычислении
скорости фронта в [7] использовались соотношения, справедливые для
простых волн. Квадратичные поправки в формуле (1.5.7) определены
благодаря учету малых членов третьего порядка малости по числу Маха.
Естественно, формула (VII.4.9) не согласуется с формулой (1.5.7),
поскольку в последней не учтены отраженные от поверхностей разрыва волны,
сказывающиеся именно в третьем порядке малости.
Используя ранее найденное значение амплитуды отраженной волны (VII.2.16),
дополним в третьем приближении римановские соотношения для простой волны:
Здесь М0 = Ро/Ро> индексом 1 помечены величины, отно-
(VII.4.9)
(VII.4.10)
м,[1
т-3
Ро
4
§ 4. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ
195
сящиеся к точке, находящейся непосредственно перед фронтом волны, а
индексом 2 - к точке непосредственно за фронтом. Поэтому отраженная от
поверхности разрыва волна включена в первые два из приведенных выше
соотношений. Определяя скорость фронта с помощью выражений (VII.4.10),
найдем
Таким образом, приращение скорости фронта оказалось численно равным
значению б (формула (VII.4.9)), несмотря на принципиально различный
подход. Следует отметить, что квазистационарное решение, дающее структуру
фронта, остается справедливым и для предельного перехода Ъ -> 0, однако
такой предельный переход в исходных уравнениях (VII.4.3) и (VII.4.4)
