Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
+1 = - т+ (+)Vb? • ' (VII.3.3)
Учитывая, что формула (VII.3.3) остается справедливой в области
асимптотического спада отраженных волн (область значения параметра сг +>
1), покажем, что при значении параметра сг <( 1 суммирование элементарных
отраженных волн приводит к выводу о наличии постоянной составляющей
(обязанной своим происхождением тому факту, что отраженная волна суть
однополярный импульс). Для этого возьмем интеграл по а от выражения
(VII.3.3) в пределах одного периода элементарной отраженной волны, т. е.
от единицы до 1 -+ я (у +- 1 ){vjce). Такое интегрирование дает значение
постоянной составляющей на участке о <( 1. Постоянная составляющая, как
легко видеть, будет равна
= (-?-)'• (vn-M>
что совпадает с выражением (VII.3.3) при значении а = 1.
Распространение волн конечной амплитуды, таким образом, сопровождается
постоянным течением, известным в акустике как акустический ветер. Следует
отметить, что рассмотренное в этом параграфе течение, в отличие от
классических акустических потоков (см. гл. VIII), не связано с
диссипацией волны и представляет собой чисто нелинейный эффект.
Поскольку решалась одномерная задача, то сам факт возникновения
отраженных от поверхностей разрыва
§ 4. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ
189
волн разрежения, рапространяющихся по направлению к источнику излучения,
потребовал введения в целях математической строгости предположения об
абсолютной проницаемости источника и условия излучения на отрицательной
бесконечности. Разумеется, область разрежения, возникающая в звуковом
луче, заполняется окружающими частицами среды, что может вызвать
определенные циркуляционные эффекты, однако подобная постановка проблемы
выходит за рамки рассмотренной задачи.
Отметим еще раз, что в области от излучателя до координаты ст = 1 течение
постоянно, а при значении ст 1 асимптотически стремится к нулю, сохраняя
свое направление от излучателя к приемнику.
§ 4. Модифицированный нелинейно-акустический
подход. Простые волны с учетом отражения
Воспользуемся полной системой уравнений, описывающих распространение волн
конечной амплитуды в вязкой, теплопроводящей среде (В.1.4), (В.1.5),
(II.1.2) (по-
(т - 1) (г - 2) со ,, следнее уравнение дополним членом' ^--------------
- р J -
b Ро
- [х3). Примем, как обычно, диссипативный коэффициент Ъ, а также
возмущение скорости, плотности и давления за малые величины первого
порядка малости. Ограничимся рассмотрением эффектов, имеющих место при
больших числах Рейнольдса. В предположении медленного изменения профиля
волны при ее распространении в системе, введем сопровождающую систему
координат рх ит - t - {х!са), где р - малый параметр первого порядка
малости, учитывающий факт медленного искажения. Переходя к координатам т,
рх после исключения р из уравнения (В.1.4) с помощью уравнения (II.1.2),
получим с точностью до членов шьрядка р3:
J_ /1 L\ др'1 , _v_ Эр' -1\ I р' \ dv I
Ро \ со ) дх ^ ро дх со \ ро / 9т
190 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
(4
_Р
ро
со
ро
L) /1 _
о М Со ) дХ
[1 + (т-1)|
dv
дх
(т-
-1) (Т - 2)
эр'
дх
d2v
~дХ2
26 d2v
Соро дх дх
(VII.4.2)
Умножим уравнение (VII.4.1) на с0 (1 - v/c0). После сложения полученного
уравнения с уравнением (VII.4.2) и замены в малых членах второго порядка
малости v на р' на основе самосогласованных выражений, полученных во
второй главе (см. (II.1.12), (II.1.13)), найдем
Зт - 1 р'
[1+:
ро
эр'
дх
_1_ Г т + 1 -Е1
L 2со ро
(Т Ч- 1) (Т - 3)
2с*Ро
L 2 р0
4с0
Р' 1 Э2р'
\ дх2
(т -
дх
________________д2?'
4с2ро5 дхдх
1)6 ( др'
56
4с р
(тгТ-
Аналогичные преобразования приводят ко второму уравнению для переменной
v:
I
Т + 5 V dv Г + 1 v , (Т + 1)(Т - 3) / v \2-| dv
4 Со дх 2со Со 8с0 \ Со / _ дх
2Сд?о
Т + 1
v
Со
д2У
дх2
6 (Т ¦
36
________________дЧ_
4с^р0 Эж дх
1) / 9г>
4с^ро
(?)'. (VII.4.4)
Полезно провести сравнение уравнений (VII.4.3) и (VII.4.4) с уравнением
(II.1.10). Отличие в уравнениях, описывающих медленные изменения профилей
скорости и плотности звуковой волны, сказывается только в третьем
приближении, когда волны перестают быть простыми после образования
разрывов. Сведение уравнений (VII.4.3) и
§ 4. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ
191
(VII.4.4) к одинаковому виду на основе самосогласованных выражений типа
(II. 1.12) следующего приближения невозможно. Это связано с тем, что в
третьем приближении формы волн скорости и плотности уже различаются.
Точное решение уравнения (VII.4.3), точно так же как и уравнения
(VII.4.4), не может быть получено аналитически, поэтому проведем
поэтапное рассмотрение процесса, предполагая, что на входе системы задано
краевое условие: при х = 0 р'= ро sin сот. Тогда, как это принято в
случае больших чисел Рейнольдса Re 1, на первом этапе распространения
волны конечной амплитуды можно пренебречь диссипативными эффектами,
опустив члены, стоящие справа в уравнении (VII.4.3). Получающиеся таким
способом уравнения в методе поэтапного упрощения принято называть
