Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
x 1(0) = a1, x2(0) = a2. (17)
Характер траектории ее движения существенно зависит от соотношения скоростей растяжения и поворота. При k < W траектория определяется следующим общим решением:
/ч Гk W . . Л
x 1(t) = [ l a1 - 1 a2 | sinlt + a1cos1t,
. ч Г W k .
x2(t) = 11a1 - ia2 | sinlt + a2cosit,
(18)
где l = л/W2 - k2. Здесь траектории замкнуты и остаются все время в ограниченной области пространства.
Так, для точки, которая имела в начальный момент координаты (a1,0), имеем
x 1 k x 2 W
— = — sinlt + cosit, — = — sinlt. (19)
a1 l a1 l
Для дальнейшего анализа удобнее перейти к координатам 0xy, повернутым относительно 0x 1 x 2 на угол p/4:
x! + x 2 -x 1 + x 2
x = -7T, ^= ^ (20)
Механический смысл этого перехода связан со следующим обстоятельством. В координатах 0x 1 x 2 компоненты тензора скоростей деформаций для течения (13) имеют вид:
Г \
= 0,
ox 1 е22 dx2 k е12 2
av1 av2
-----+--------
Ox2 Ox 1
т. е. 0х 1, 0х 2 — главные оси тензора скоростей деформаций. Следовательно, направления 0х, 0у будут совпадать с направлением максимальной скорости сдвига:
к
ехх 0, eyy 0, еху т'
2
В этих осях уравнения траекторий частицы упрощаются и приобретают следующий вид:
W2
a2(W + к) a2(W - к) l2
(21)
Таким образом, траектории представляют собой эллипсы с осями равными (рис. 4.4, а, б при к/W = 0,2; 0,7):
a=
b=
^1 - к / W ’ ^1 + к / W
(22)
Закон обращения точек вокруг центра обладает одной замечательной особенностью. Если из центра к точке провести радиус-вектор, то за одинаковое время он будет ометать одинаковые площади. Значит, секториальная скорость точки будет постоянной. Действительно, продифференцируем (19) по времени
ёх 1
V1 = = a^coslt - Isinlt),
ёх 2
V 2 = —— = a, W cosit 2 1
(23)
и вычислим векторное произведение:
|v х r|= aj2W.
(24)
2
х
a
a
1
Здесь использованы обычные обозначения:
V = {V1, V 2}, r = {x 1, x 2}.
Таким образом, для фиксированной материальной точки величина (24) от времени не зависит. На рис. 4.4 показаны положения материальных точек через одинаковые промежутки времени. Центральные лучи строились таким образом: в начальный момент времени бралась совокупность материальных точек, лежащих на прямой, затем отмечалось положение всех этих же точек через одинаковые промежутки времени. Мы здесь сразу обнаруживаем два обстоятельства. Первое — эти точки все время остаются на прямолинейном луче. (Это естественно, так как деформация является аффинной и поэтому любая исходная прямая может преобразоваться только в прямую.
Очевидно, что если одна точка на этой прямой неподвижна, то пре-
образование может приводить только к вращению этой прямой и к ее сжатию или растяжению.) Из рисунка видно, что угловая скорость вращения меняется, а секториальная скорость — постоянна (площади всех секторов между двумя соседними лучами одинаковы).
Если скорость растяжения k постепенно увеличивать, то траектории будут все больше вытягиваться вдоль направления наибольшего сдвига. При k = W эллипсы выродятся в прямые, параллельные оси 0x:
x 1(t) = k • a - a2) t + ab
x2(t) = k • (a1 - a2)t + a2.
Если же k > W, то траектории становятся гиперболическими. Действительно, положим - = Vk2 - W2. Тогда
x 1(t) = x 2 (t) =
k) W 1 + — I at - — a2 -I0 1 - 2 W Г k']
— a1 + I1 --I a2
- 1 [ -0 2
e- +2
e- + -2
k) W 1 - — I at + — a2 -I0 1 - 2 W Г k']
- a> + I 1 + I a7 - 1 [ -I0 2
--
(26)
--
Легко показать, что этому решению отвечают гиперболы с двумя асимптотами
x 2 W x 2 W
x 1
k + Vfc
2
W
x2 ’x 1
k -4k
2
W
2
(27)
К первой асимптоте траектории стремятся при t ® +/, ко второй — при t ® -/. Произведение угловых коэффициентов равно 1, поэтому асимптоты симметричны относительно биссектрисы x 1 = x 2.
1
e
Появление в данной задаче непериодических решений с траекториями, уходящими на бесконечность, на первый взгляд, кажется парадоксальным. Однако этот результат имеет ясный механический смысл. Для его объяснения перейдем к полярным координатам х 1 = rcosa, х2 = rsina и преобразуем систему (13) к следующему виду:
