Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
(12)
S
Рассмотрим теперь подробнее вопрос о единственности кинематического решения. Формально он сводится к следующему. Предположим, что краевые условия силового типа обеспечивают единственность решения. Заменим теперь силовые условия на условия кинематического типа (11). Будет ли решение новой задачи также единственным? Для известных классических моделей (линейная упругость, вязкая жидкость, пластическое тело) ответ на этот вопрос будет положительным, с точностью до аддитивного гидростатического давления, которое в данном случае значения не имеет. Есть все основания ожидать, что ответ будет положительным и для более широкого класса математических моделей. Весь опыт теоретического и экспериментального изучения деформирования различных материалов свидетельствует в пользу такого предположения. В частности, в экспериментальной механике различие в указанных типах краевых условий выражается в понятии «жесткость нагружения». Нагружения силового типа, когда на границе задаются силы, называются «мягкими», а нагружения, когда на границе задаются смещения — «жесткими». Можно ввести определения и промежуточных типов нагружений. Опыт показывает, что повышение степени жесткости нагружения всегда увеличивает степень устойчивости процесса деформирования. Это также свидетельствует в пользу положительного решения поставленного выше вопроса.
В общем случае теоретическое доказательство (т. е. без конкретизации модели среды), по-видимому, невозможно. (Тем более, что заранее ясно — кинематические и силовые условия не эквивалентны между собой: из единственности решения при заданных смещениях не следует единственность его при заданных напряжениях, даже если последние и определены из решения кинематической задачи.) Однако для конкретных моделей и задач можно получить исчерпывающие результаты.
В качестве иллюстрации рассмотрим с этой точки зрения классическую задачу Эйлера об упругом сжатии стержня (рис. 3.1). Пусть АВ, СD — торцы стержня, на которые приложена равномерно распределенная сжимающая нагрузка p*, AD, BC — боковая поверхность, свободная от напряжений. (Для удобства рассматривается плоская деформация.)
Задача сводится к решению упругих уравнений при следующих краевых условиях:
s 11 = p/2h, s 12 = 0 при х 1х2 е AB, CD; (13)
s 12 = 0, s22 = 0 при х 1х 2 е BC, AD.
У1 С
_ в h
0 X
A -h D
Решение этой задачи имеет следующий вид: s 22 = s 22 = 0, s 11 = p/2h;
-I _P_
U1 E2hX 15
_ v p U2 E 2h X 2’
(14)
(15)
где E, v — упругие постоянные материала; (x 1,x2) — любая внутренняя или граничная точка области ABCD.
Итак, равенства (14), (15) представляют собой решение исходной задачи в напряжениях (мягкое нагружение). Если теперь компонент смещений (14) задать на границе тела (жесткое нагружение), получим то же самое распределение напряжений (14). Однако указанные задачи будут эквивалентными только при значениях нагрузки, меньших некоторой критической p *. При больших нагрузках, как известно, решение задачи (13) становится неустойчивым. Более того, если исходить из краевых условий (15), то устойчивость будет сохраняться и при нагрузках р, больших критической (рис. 3.2), т. е. переход к кинематическим условиям заведомо повышает устойчивость деформирования. В данном случае устойчивость гарантирует единственность, а значит, и совпадение решений силовой и кинематической задач.
Теперь можно сделать следующий общий вывод: если среда является несжимаемой и поле массовых сил имеет потенциал, то распределение скоростей, которое реализуется в теле вследствие приложения массовых сил и заданных напряжений на его границе,
\\\\\\\\\V
\\
¦р> р*
\\\\\\\\\\\\\\\ Рис. 3.2.
будет совпадать с полем скоростей, получающимся в результате решения чисто кинематической задачи, где массовые силы явно не фигурируют, а на границе задано специальное распределение скоростей (именно такое, которое получается на поверхности тела под действием массовых сил). Таким образом можно добиться моделирования кинематики деформирования, не прибегая к моделированию действительного распределения массовых сил. Этот факт положим в основу рассмотренного ниже метода исследования приливных волн. Такое моделирование оказалось возможным за счет того, что поле действительных массовых сил компенсируется благодаря специальному распределению гидростатического давления, поэтому при таком подходе распределение гидростатического давления не моделируется. Для остальных напряжений (касательных напряжений и разностей нормальных напряжений) подобие соблюдаться будет.
Далее. Обычно при решении сложных задач результаты такого рода распространяются за область своей первоначальной формулировки. В настоящей работе поступим таким же образом. Будем применять метод кинематического моделирования для любых сред без ограничения на их сжимаемость. Ниже будет показано, что условия нагружения в целом будут такими, что общее изменение объема тела все равно будет отсутствовать. Сделанный шаг означает только, что игнорируется сжимаемость, связанная с конвективным переносом материальных элементов в неоднородном поле напряжений. В рассмотренных задачах перенос элементов по глубине будет иметь порядок высоты приливной волны, поэтому поправка на сжимаемость среды будет ничтожной.
