Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
, fiM pMWM
k 1 = -
4 fi pW2 '
Таким образом, фактор малости отношения RM /R компенсировался за счет специфики массовых сил. Однако осталась проблема, связанная с малостью самой интенсивности массовых сил. (Кроме сил самогравитации. Однако эти силы уравновешиваются начальными напряжениями и деформаций не вызывают.) Последнее приводит к тому, что будут малыми и вызываемые деформации. Этот
вопрос уже относится к геометрическим и кинематическим критериям подобия и будет рассмотрен ниже.
Принципиальные трудности в реализации критерия (6) связаны также с характером массовых сил. В естественных условиях массовые силы имеют три составляющие: центробежную, приливную и самогравитации. Моделирование центробежных сил принципиальных трудностей не вызывает. Однако попытки моделирования в лабораторных условиях приливных сил и сил самогравитации приводят к трудностям, которые следует признать непреодолимыми. Таким образом, от моделирования массовых сил мы полностью отказываемся. Следовательно, мы отказываемся и от моделирования действительного распределения напряжений в небесном теле. Однако это не означает, что вся задача моделирования в целом становится безнадежной. В опытах можно воспроизвести кинематику деформирования, которая создается массовыми силами. Естественно, это можно сделать только на границе тела. Следовательно, речь идет о том, чтобы воспроизвести на границе движения приливных волн.
Основной вопрос, который здесь возникает, сводится к следующему: насколько такая кинематическая постановка соответствует реальной ситуации. Оказывается, что в довольно общих случаях ответ на этот вопрос будет положительным: при выполнении определенных условий кинематическая постановка проблему моделирования приливных деформаций решает. Причем здесь можно дать вполне строгие доказательства.
Обратимся к методам механики деформируемого твердого тела. Пусть у нас есть тело V, ограниченное поверхностью S. Предположим, что тело деформируется под воздействием каких-то внешних условий. Вначале будем считать, что среди этих условий массовые силы отсутствуют, т. е. процесс деформирования тела сводится к тому, что на части поверхности тела задаются перемещения, на другой части — напряжения либо некоторые комбинации перемещений и напряжений. Предположим теперь, что мы задали некоторые граничные условия и решили краевую задачу. Что это означает? Это означает, что теперь мы располагаем информацией о напряжениях и смещениях во всем теле, включая его внутренние точки и границу.
Рассмотрим теперь вторую задачу. Отбросим все силовые граничные условия, которые фигурировали в первой задаче, и зададим на всей замкнутой границе тела именно то распределение смещений, которое получилось из решения первой задачи. При довольно общих предположениях можно показать, что здесь получится то же
самое решение, что и в первой задаче. (Исключение составляют неустойчивые процессы, когда нет единственности решения. Ниже такие случаи не приводятся.) Например, для линейно-упругого тела рассмотренное утверждение следует из основного энергетического тождества. Пусть s j, иj, ej и sj, uj, ej — два статических решения упругой задачи. Разность решений обозначена теми же буквами, но без штрихов, тогда
где справа стоит положительно определенная квадратная форма. Для силовой задачи интеграл слева равен нулю в силу того, что sn = 0 на границе либо на отдельных участках границы sn ¦ u = 0. Но если мы под sj,... понимаем решение силовой задачи, а под sj,... — решение кинематической задачи, то интеграл слева будет равен нулю вследствие того, что u = 0 на всей поверхности S, т. е. в данном случае совпадение двух решений следует из теоремы единственности. Правда, при этом предполагалось, что массовые силы отсутствуют. Отметим, что это результат точный. Его можно также строго доказать для более широкого класса моделей.
Предположим теперь, что массовые силы есть. Этот случай гораздо сложнее. Во-первых, если материал тела является сжимаемым, то никаких достаточно общих результатов получить, по-видимому, нельзя. Но если тело несжимаемое, то возможны ситуации, когда чисто кинематическое нагружение без массовых сил дает в точности ту же самую картину деформирования, что и нагружение с массовыми силами. Действительно, перейдем в уравнениях (1)-(3) к пределу divv ® 0 (здесь v — вектор скорости). Тогда в выражениях для нормальных напряжений выделится новая аддитивная переменная p — гидростатическое давление
где 5j — символ Кронекера; sj — компонента девиатора напряжений. Для определения новой переменной появится и новое уравнение
В рассматриваемой задаче объемные силы имеют потенциал:
S
V
pdij + s 'ij,
(7)
dx 1 dx 2 dx 3
F = -grad П.
(8)
Поэтому систему (1) можно записать в следующей форме:
Эст'ц + dq'i2 + Ss13
дх i
Ss12 дх i
ds13
дх
дх 2 dS22
