Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
величины, конечно, всегда должна быть ограничена одним произведением. С
другой стороны, числа Фруда, Рейнольдса и им подобные, приобретшие
большое физическое значение, будут в большинстве случаев получаться как
произведения, только если длина, скорость и плотность выбраны как
повторяющиеся переменные. Если скорость представляет легко и независимо
изменяющуюся величину, эти два критерия будут, очевидно, разными. Как
правило, не существует определенного пути для применения понятий
размерности при анализе какого-нибудь явления, опыт здесь необходим в
такой же степени, как и в любой другой области науки. Поэтому в следующих
частях будут детально рассмотрены трудности скорее физического, чем
алгебраического порядка.
7. Безразмерные соотношения и их значение. Как видно, П-теорема дает
результаты, которые обладают по крайней мере
14
тремя преимуществами по сравнению с размерными соотношениями. Во-первых,
соотношение, выведенное таким образом, не зависит как в числовом
значении, так и с точки зрения размерности от системы единиц,
использованной при выражении самих переменных. Во-вторых, число членов
обычно сводится к числу входящих размерных категорий (т. е. г только в
редких случаях меньше, чем т). В-третьих, переменные группируются таким
образом, что облегчают дальнейшее изучение их функциональных
взаимоотношений. Иногда считается, что П-теорема также дает ключ к
пониманию самой функции. Но за исключением одного случая, который будет
сейчас рассмотрен, это не так, ибо П-теорема только упрощает выражение
информации, полученной первоначальным подбором переменных.
Когда в задаче задано, что п-г=\, результат имеет очень простой вид:
Р(П1) = 0.
Так как здесь содержится только один П-член, очевидно он должен быть
постоянной величиной. Именно такой случай будет, например, если
предположить (как сделал Осборн Рейнольдс), что переход от ламинарного
потока к турбулентному зависит лишь от диаметра трубы, средней скорости,
плотности и вязкости жидкости:
= 0 и J^- = C.
V Р / Р
Только с помощью размерных значений можно показать, как это подразумевает
первоначальное предположение, что произведение диаметра, скорости и
плотности будет изменяться прямо пропорционально вязкости. Постоянная
пропорциональности вычисляется иными средствами. Могут быть найдены и
другие многочисленные примеры постоянства групп переменных с одним
параметром. На границе между реками и быстрыми потоками отношение V/J^gy
равно единице. При гидростатическом распределении давления величина -
бр/убг тоже равна единице. При медленном движении малых шарообразных
частиц в вязкой жидкости величина F/\iVD равна Зп. А для волн с
минимальной скоростью на поверхности жидкости величина %У у/a равна 2л.
Так как первые две из указанных величин обычно называют числами
Рейнольдса и Фруда, логически и остальные могут быть названы числами
Архимеда, Стокса и др.
Если в задаче задано, что п-г=2, тогда
F (Пь П2) = О,
так же как при сопротивлении в гладких трубах. Ни тот, ни другой из П-
членов здесь не может быть постоянной величиной, постольку каждый должен
определенным образом изменяться в зависимости от второго. С другой
стороны, каким было бы пяти-
15
мерное представление, если бы экспериментальные данные, упрощенные сейчас
до одной кривой на двухмерном графике, изображались бы графически в
соответствии с первоначальным числом переменных. Не следует забывать,
однако, что г переменных в задаче о движении жидкости по трубам,
выбранные для двух групп, не представляют собой единственно возможный
выбор. Действительно, так как каждая группа может отличаться от других
только одной переменной, следовательно, существует пять различных групп,
которые могут быть образованы из этих пяти переменных, и в каждой из них
опущена одна переменная величина:
yj Ddpjdx yj _ DV р
;
р V2 р
т-г D2dp/dx " _ рDHp/dx
w3- - ; и* ;
p,V Р2
jj _ р dp/dx
5~~ p2P '
Первые два выражения известны как числа Эйлера и Рейнольдса - Ей и Re.
Третье может быть названо по имени Пуа-зейля числом Р (постоянное для
ламинарного потока), следующее часто называют числом Кармана К- Последнее
обозначают буквой D из-за того, что диаметр является той величиной,
которую оно не содержит. Между этими пятью величинами возможны десять
простых функциональных комбинаций (не считая многочисленных комбинаций
производных):
Fx (Eu, Re) = 0; F4 (Eu, D) = 0; Fs (Р, К) = 0;
F2 (Eu, Р) = 0; F5 (Re, Р) = 0; F9 (Р, D) = 0;
F3 (Eu, К) = 0; Fe (Re, К) = 0; F10 (К, D) = 0.
F, (Re,D) = 0;
Каждое из этих соотношений в равной степени обоснованно и не содержит
иных параметров, чем другие. Однако одно или более могут иметь особое
значение в части области над относительно простой кривой; так, уравнение
Пуазейля, уравнение Блазиуса и уравнение Кармана - Прандтля для особых
частей функции наилучшим образом соответствуют различным комбинациям этих
параметров.
Продолжая в том же духе, найдем, что если п-г = 3, то получающиеся три
