Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
очень распространенным. Это, очевидно, связано с уже упоминавшимся
пониманием стохастичности динамических систем, которое
23.1. Общие замечания
495
сформировалось в статистической механике: в газе движение каждой
отдельной частицы в принципе известно и предсказуемо, но движение системы
из очень большого числа частиц (даже невзаимодействующих), столь сложно,
что динамическое описание теряет всякий смысл. Отсюда потребность в
статистическом описании. Автоколебательный характер движения среды или
поля по этим представлениям существен лишь на этапе установления
стационарных пульсации - равновесие между отбором энергии у источника
(например, среднего течения) и диссипацией определяет интенсивность
"автоколебательных мод". В установившемся же режиме такой "газ
автогенераторов", как кажется, не должен отличаться от идеального газа.
Аналогичные представления лежат в основе упоминавшейся модели
возникновения турбулентности, предложенной в 1944 г. Ландау [1] и
независимо в несколько иной форме в 1948 г. Хопфом [2].
В соответствии с моделью Ландау-Хопфа турбулентность при увеличении числа
Рейнольдса возникает в результате цепочки последовательных бифуркаций,
благодаря которым устанавливается квазиперио-дическое движение u(t) =
F(u>it, ... , wjyl), где функция F имеет период 2тг по каждому аргументу,
аш; - это несоизмеримые частоты. Первые бифуркации из этой цепочки очень
просты: вначале устойчивое состояние равновесия превращается в
неустойчивое и одновременно в его окрестности рождается устойчивый
предельный цикл (так появляется и>\), затем возникшее периодическое
движение теряет устойчивость и в окрестности исчезнувшего устойчивого
цикла появляется двумерное многообразие - тор, частота обмотки которого
несоизмерима с основной частотой (так появляется ыг), после чего это
двухпериодическое движение становится неустойчивым и рождается трехмерный
тор (возникает и т. д. При большом N реализация такого квазипериоди-
ческого процесса действительно выглядит случайной, в частности, его
автокорреляционная функция быстро спадает (как 1/VN), а время до ее
следующего максимума (период возврата Пуанкаре) есть Т ~ exp(alV), где а
и 1 [3].
Естественная с точки зрения привычных представлений модель турбулентности
в виде "газа" автоколебательных мод с несоизмеримыми частотами
оказывается тем не менее верной лишь частично. Дело в том, что учет даже
слабого взаимодействия "частиц" в таком "газе" может привести к
неустойчивости интересующего нас многочастотного квазипериодического
движения. В результате разрушения этого движения, представляемого в
фазовом пространстве незамкнутой обмоткой тора может возникать и
периодическое движение - предельный цикл,
496
Глава 23
и настоящее стохастическое - странный аттрактор. То, что в
автоколебательной системе при малом изменении ее параметров квазипериоди-
ческое движение может перейти в периодическое, известно достаточно давно
- это уже знакомое нам явление синхронизации (см. § 16.3). А вот
возможность рождения странного аттрактора при разрушении
квазипериодического движения, т. е. возможность установления в результате
очередной бифуркации вместо движения с дискретным спектром движения,
характеризуемого сплошным спектром, - стохастического, была доказана
недавно Рюэлем и Такенсом [4].
Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса,
имеет много общего с движением динамических систем, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в
предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая
лишает моды с высокими номерами самостоятельности1. Хопфом даже была
высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-
Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к
конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при t -> оо движение
жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза,
правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной,
если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных
возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса
основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например,
переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из
состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического
течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания
считать, что и очередная бифуркация - переход к неупорядоченному течению
- для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной.
23.2. Возникновение стохастических автоколебаний в гидродинамическом
эксперименте
Как мы видели, даже в простых системах почти всегда возникает проблема
отделения истинно собственной стохастичности, определяемой динамикой
системы, от стохастичности. обязанной своим происхождением наличию
внешних шумов. Особенно остро эта проблема встает в сложных (число
степеней свободы не менее десяти) и распреде-
