Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
турбулентности в гидродинамических течениях.
22.6. Размерность стохастических множеств
Как мы уже говорили в начале главы, размерность стохастического множества
гамильтоновой системы совпадает с размерностью фазового пространства
исходной системы. Размерность же стохастических аттракторов может быть
существенно меньше размерности фазового пространства исследуемой
диссипативной системы. Именно это проясняет ответ на вопрос: почему и
очень простая система, например нелинейный осциллятор с трением,
возбуждаемый периодической силой, и очень сложная, например
гидродинамическое течение в ячейке (см. § 23.2). демонстрируют одни и те
же свойства перехода.
Мы уже говорили, что на стохастическом множестве все траектории должны
быть неустойчивы. Они не могут быть неустойчивы одновременно по всем
направлениям - это приведет к безграничному росту объема, т. е. аттрактор
перестанет быть аттрактором: располагающиеся внутри ограниченного
фазового объема неустойчивые траектории могут быть только седловыми - они
неустойчивы по одним направлениям и устойчивы по другим (причем эти
направления вдоль траектории могут меняться). Скорость разбегания
траектории по каждому из направлений характеризуется средним по
траектории положительным ляпуновским показателем A j (j = 1,2, ... , s.
где s - число неустойчивых направлений), скорость сближения траекторий -
отрицательными показателями A j (s < j ^ п, где п - размерность фазового
пространства). Напомним (см. гл. 15), что величина \j равна среднему по
траектории значению 1п[?(т)//(0)], где /(0) и 1(т) - расстояния от
возмущенной траектории до исходной и моменты времени 0 и г соответственно
(рис. 22.22).
490
Глава 22
Рис. 22.22. К определению ляпуновского показателя (Го - седловая
траектория, 2 - возмущенная траектория, Ws, Wu - устойчивое и
неустойчивое многообразия)
Ввиду диссипативности системы
S П
53 ^ ^ 53 ^ = ^iv u < о.
j=l j=s+1
Расположим показатели в порядке убывания: Ai > Аг > ... > А". Тогда
характеристику стохастического множества, называемую размерностью,
определим так [30]: D = m+d, где Ai + .. . + Am_i > 0, Ai + ... + Am < 0,
a d определяется из равенства Ai + А2 + ... + Am_i+ +d\m = 0 (очевидно, 0
d 1). Величина d называется дробной частью размерности аттрактора (и
иногда называют фрактальной размерностью) [31].
Видно, что размерность странного аттрактора зависит не только от числа
неустойчивых направлений, но и от суммарной скорости разбегания
траекторий по ним.
С физической точки зрения представляется важным нахождение связи между
размерностью стохастического множества и значением параметра,
характеризующего степень неравновесности системы (например, числа
Рейнольдса в гидродинамике). Однако пока что на этот счет имеются лишь
предварительные, весьма завышенные оценки.
Если D ^ 2, то фазовые траектории, образующие аттрактор, располагаются в
тонком слое вблизи некоторой поверхности1. При этом приближенно
(пренебрегая толщиной аттрактора) движение на аттракторе можно описать с
помощью одномерного отображения Пуанкаре, связывающего координату
предыдущего пересечения принадлежащей аттрактору траектории с секущей
поверхностью с координатой следующего пересечения Xk+i = F(xk)- К числу
аттракторов с D - 2 = d < 1 принадлежит, в частности, аттрактор системы
Лоренца. Именно поэтому все известные бифуркации и этой системе так
хорошо описываются с помощью одномерных отображений.
Таким образом, любая диссипативная система, размерность стохастического
множества которой больше или равна двум, должна демонстрировать переходы
к стохастичности, которые описываются в
действительности траектории ложатся на бесконечное число поверхностей,
так как структура аттрактора канторовская.
22.6. Размерность стохастических множеств
491
рамках одномерных отображений, независимо от размерности фазового
пространства.
Величина D характеризует и близость странного аттрактора в
слабодиссипативной системе к стохастическому множеству соответствующей
гамильтоновой системы. Такая близость, в том числе и по статистическим
характеристикам, имеет место, когда D < п (п - размерность фазового
пространства).
Приведем один пример. Рассмотрим стохастические автоколебания в
параметрически возбуждаемом нелинейном осцилляторе [32]:
х Т hx Т (1 - Ъ cos Clt)x + х3 = 0. (22.22)
Здесь h характеризует величину диссипации, Ъ - величину внешнего поля.
Рис. 22.23. Фазовые портреты стохастического множества уравнения (22.22)
на секущей плоскости: а - странный аттрактор при h = 0,12, b = 25; б -
стохастическое множество соотвествующей гамильтоновой системы (h = 0)
Численное исследование этой системы удобно проводить с помощью построения
отображения Пуанкаре точек секущий плоскости t = const в себя через
период Т0 = 2-к/О, (см. гл. 15). Напомним, что устойчивому периодическому
движению с периодом NT0 на секущий плоскости хх соответствует N точек.
Стохастическому множеству в фазовом пространстве xxt уравнения (22.22) на
