Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
T(x. z.: t) = Tn(t) cos(7тха/l) sin(7rz/l) - T02(t) sin(27rz/l).
Такое представление означает учет трех связанных пространственных мод, из
которых две (фц и Тц) при Ra > Rai нарастают за счет конвективной
неустойчивости, а третья (Tq2) затухает. Параметр а = 1\/2 - это
характерный масштаб мод, которые раньше других теряют устойчивость при Ra
^ Rai. Решение (22.19) описывает конвекцию в виде валов или роликов, не
меняющихся по третьей координате.
Ограничение неустойчивости в данном случае происходит за счет передачи
энергии растущих' мод в моду Т02, что соответствует изменению основного
профиля температуры таким образом, что в мо-
Рис. 22.18. Спектр колебаний неавтономного нелинейного осциллятора в
режиме стохастических колебаний
484
Глава 22
ды -фц и Тог в среднем поступает как раз столько энергии, сколько
тратится из-за вязкости и температуропроводности. Для амплитуд этих мод X
~ -фц, Y ~ Тц, Z ~ Тог, и получается система уравнений Лоренца
X = -PrX + Pr Y,
Y = -Y + rX - XZ, (22.20)
Z = -bZ + XY.
Здесь Рг - число Прандля, г = Ra/Rai - число Рэлея, нормированное на
критическое, а b = 4/(1 + а2) (см. гл. 21). В первую колонку здесь
объединены слагаемые, ответственные за линейное затухание мод, во вторую
колонку - слагаемые, ответственные за их параметрическое возбуждение
(слагаемые, пропорциональные X и Y, входят с одинаковыми знаками в
уравнения для X и Y соответственно), а в третью колонку входят слагаемые,
ответственные за нелинейную перекачку энергии в затухающую моду Z. И вот
такая, как казалось, простая система демонстрирует непериодическое
поведение (на рис. 22.19 представлена одна из траекторий, принадлежащих
аттрактору [24]).
Рис. 22.19. Траектория, воспроизводящая аттрактор Лоренца (выходит из
начала координат). Здесь г = 2,8, а горизонтальная плоскость
соответствует г = 27
22.5. Пути возникновения странных аттракторов
485
Прежде всего обсудим простейшие особенности системы (22.20).
1) Эта система неустойчива на бесконечности, и в фазовом пространстве
существует область, куда входят все траектории. Положив и = X2 + Y2 + (Z
- г - Рг)2, из (22.20) находим й ^ -С\и + С2 (Ci,2 > 0), т. е. все
траектории входят в шар радиуса и 2С2/С1.
2) Фазовый объем системы (22.20) равномерно сжимается:
дХ/дХ + dY/dY + dZ/dZ = -(1 + Pr + ft), (22.21)
т. e. притягивающее множество имеет нулевой объем. 3) Система симметрична
по отношению к замене X -> -X. Y ->• -Y, Z -л Z.
Проследим зависимость поведения системы от параметра г (числа Рэлея). При
г < 1 единственным состоянием равновесия является устойчивый узел в
начале координат 0(0, 0, 0). Когда г > 1, начало координат становится
седлом и из него рождаются два устойчивых состояния равновесия = (±y/b(r
- 1), ±y/b(r - 1), г - 1), отвечающих стационарной конвекции в виде валов
с противоположным направлением вращения жидкости. Эти нетривиальные
состояния равновесия существуют при г > 1, но устойчивы они только при г
< г* = Рг(Рг + + 6 + 3) / (Рг - 6 - 1).
При г = г* в состояние равновесия С+ и С попадают существовавшие в их
окрестности неустойчивые циклы и передают им свою неустойчивость. При г >
г* эти состояния равновесия превращаются в состояния типа седло-фокус:
одномерная сепаратриса устойчива, а на двумерной расположены
раскручивающиеся спирали. Таким образом, при г > г* внутри упоминавшейся
области в фазовом пространстве системы (22.20) все состояния равновесия
неустойчивы. Ответ на вопрос, к чему в этом случае будут притягиваться
траектории, требует существенно нелокального рассмотрения и может быть
получен в результате численного исследования [24, 25].
Изменение структуры разбиения фазового пространства системы (22.20) на
траектории удобно пояснить с помощью рис. 22.20, где представлены
взаимные расположения основных элементов - сепаратрис седла (0, 0, 0),
состояний равновесия и предельных циклов. Эти результаты получены при Рг
= 10, b = 8/3 и переменном г.
1. При 1 < г < щ, где ri = 13,92, система помимо тривиального имеет
еще два состояния равновесия - С+ и С~. Состояние равновесия 0 является
седлом, имеющим двумерное устойчивое многообразие W и две неустойчивые
одномерные сепаратрисы - Г+ и Г-, стремящиеся к состояниям равновесия С+
и С~ (рис. 22.20а).
486
Глава 22
Рис. 22.20. Иллюстрация последовательных бифуркаций в системе Лоренца при
увеличении параметра г: а - 1 < г < ri; б - г = г\\ в - п < г < г2; г - г
= гг; Д - гг < г < г*; е - г* ^ г
2. При г = ri каждая из сепаратрис становится двоякоасимптотической к
седлу 0 (рис. 22.206). При переходе г через гх из замкнутых петель
сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодические движения -
предельные циклы Ьх и Ь2. Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается
и очень сложно организованное предельное множество; оно, однако, не
является притягивающим (аттрактором), и при ri < г < гг, где г и 24,06,
все траектории по-прежнему стремятся к С±. Ситуация на рис. 22.20в
отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы Г+ и Г~ идут к
