Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
секущей плоскости отвечает сложное множество точек. При h > 0 это -
аттрактор. На рис. 22.23 представлены фазовые портреты на секущей одного
из таких аттракторов (при h = 0,12, b = 25) и стохастического множества
гамильтоновой системы (h = 0, Ь - 25). Размерность аттракто-
492
Глава 22
Рис. 22.24. Странный аттрактор системы (22.22), приближенно описываемый
одномерным отображением (D = 2,22, h = 0,9, b = 17, П = 2,04)
ра, возникающего из стохастического множества гамильтоновой системы, D =
2, 78 яв 3, чем и объясняется близость фазовых портретов на рис. 22.23а.
В другом предельном случае (D - 2 -t D) странный аттрактор уравнения
(22.22) приближенно описывается одномерным отображением [32] (рис.
22.24).
Глава 23
Возникновение турбулентности
23.1. Общие замечания
В предыдущей главе мы говорили о возникновении стохастичности лишь в
простых системах - системах с небольшим числом степеней свободы. Кажется
совершенно очевидным, что в распределенных системах существование
стохастических движений, не связанных с действием флуктуаций или шумов,
должно быть еще более распространенным явлением. Действительно,
стохастические движения сред или полей очень распространены в природе.
Возможно, наиболее важным примером такого движения является случайное
запутанное течение жидкости, возникающее при достаточно больших скоростях
в отсутствие случайных внешних сил или полей (гидродинамическая
турбулентность).
В то же время наличие бесконечного (или даже просто очень большого) числа
степеней свободы в системе делает проблему выяснения механизма или
природы стохастичности в каждом конкретном случае весьма сложной, хотя бы
потому, что в таких системах может существовать большое число различных
нелинейных режимов, которые реализуются при близких начальных условиях.
Действие в этой ситуации даже слабого шума приведет к очень сложному и
запутанному движению системы, статистические характеристики которого
будут слабо зависеть от статистики действующего шума. Такие движения
наблюдаются в экспериментах, в частности гидродинамических. Мы в этой
главе их обсуждать не будем и сосредоточим внимание на случайном движении
детерминированных распределенных систем, в частности на механизмах
возникновения гидродинамический турбулентности, математическим образом
которой является странный аттрактор.
Оговоримся сразу, что под турбулентностью мы понимаем стохастический
автоколебания в распределенной системе, т. е. случайное движение
нелинейной диссипативной среды или поля, совершающееся под действием
неслучайных источников энергии.
494
Глава 23
Проблема турбулентности возникла в середине прошлого века, когда между
теоретической гидродинамикой (с ее уравнениями Навье-Стокса) и
прикладными задачами о течении жидкости или газа обнаружилось множество
противоречий. Например, экспериментаторам было известно, что при
достаточно больших скоростях течения жидкости по трубе сопротивление
движению должно расти как квадрат средней (по сечению) скорости (закон
Шези). Из теории же следовало, что сопротивление растет пропорционально
первой степени скорости (закон Пуазейля). Первый шаг к примирению этих
противоречий сделал О. Рейнольдс, опубликовавший в 1883 г. работу о
результатах опытов с окрашенными струйками в потоке, где он ввел число Re
= VD jv (D - диаметр, V - скорость, v - кинематическая вязкость) и
впервые связал закон Пуазейля с ламинарным течением жидкости, а закон
Шези с турбулентным движением. Он установил, что ламинарное движение
устойчиво только при Re < 2000, а при больших числах Re возникает
турбулентность. Так, для воды, текущей по трубе диаметром 1 см при
комнатной температуре, ламинарный режим, как правило, кончается уже при
средней скорости течения ~ 30 см/с.
Возникнув почти сто лет назад, проблема турбулентности, заключающаяся в
выяснении природы случайного движения нелинейной среды и нахождения
способов ее самосогласованного описания, остается и сейчас одной из самых
притягательных и интригующих проблем в классической физике.
Главным в проблеме турбулентности - неупорядоченного, хаотического
движения сплошной среды - во всех ее физических и иных проявлениях всегда
был и остается вопрос о ее природе, т. е. причинах и механизмах
возникновения хаоса.
В разное время появилось несколько вселявших энтузиазм моделей, которые
претендовали на объяснение механизмов возникновения турбулентности в
нелинейных средах, однако сравнительно быстро выяснилась их
недостаточность. Наиболее долгоживущей оказалась модель Ландау-Хопфа,
представляющая возникновение турбулентности как длинную цепочку
последовательных неустойчивостей, в результате которых возбуждаются все
новые и новые степени свободы и движение наконец становится очень сложным
и запутанным.
Представление о том, что для перехода автоколебательной системы в
турбулентное состояние необходимо возбуждение, если не бесконечного, то
по крайней мере чрезвычайно большого числа степеней свободы, является
