Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
связи мод вдоль волновода, а не просто их связью (в этом отличие от
случаев взаимодействия волн с неизменными постоянными распространения и
неизменными коэффициентами связи вдоль всей области взаимодействия (см.,
например, гл. 10).
В качестве конкретного примера рассмотрим моды в скрученном световоде.
Благодаря тому что освоена технология изготовления волокон, сохраняющих
поляризацию излучения на длинах в сотни метров и более, а также в связи с
перспективой применения таких волокон в технике оптической связи и т. п.
заметно активизировались исследования поляризационных свойств одномодовых
волоконных световодов (см., например, [23]). В регулярном
двулучепреломляющем одномодовом световоде, который аналогичен
анизотропной среде, распространяются две основные моды с разными фазовыми
скоростями, поляризованные практически линейно и ортогонально друг к
другу (так называемые LP-моды) [19]. Вырождение мод в реальном волокне с
круглым сечением снимается из-за изгибов, неизбежной эллиптичности
сечения сердцевины и т. п. Уравнения распространения связанных LP-мод в
слабонаправляющем и слабоанизотропном световоде, приведенные в [19],
имеют следующий вид:
dEz/d( + inzEz - ctEy.
dEy/d( + гпуЕу = -aEz, (12.111)
где Ez и Ey - амплитуды основных мод. z и у - локальные основные оси
волокна (в поперечном сечении), а - коэффициент связи, являющийся
действительной величиной. Этот коэффициент определяется деформацией
сердцевины волокна, воздействием внешних полей, анизотропией и
гиротропией стекла, а в скрученном волноводе - азимутальным вращением
оптических осей. В последнем случае коэффициент связи а приблизительно
равен локальной пространственной скорости v вращения оптических осей и
может достигать значений порядка \nz - пу\ (заметим, что пространственный
период биений основных мод равен (2тг/к0)\пг - пу\). При этом свойства
нормальных волн световода сильно изменяются. Особенно важно, что их
поляризация становится эллиптической, что видно из выражений для
показате-
270
Глава 12
лей преломления щ, п2 и коэффициентов поляризации Кх, К2 (К,• = = -
iEiy/EiZ, где г = 1, 2) нормальных мод равномерно скрученного волокна.
Соответствующие соотношения, которые легко находятся из системы (12.111)
при nz = const, пу = const, и а = v = const, имеют вид
п1<2 = (1/2)(nz + Пу) ± Ул/ср + 1,
^1,2 = <7Т Vq2 + !• <7 = (1 /v)(nz - Пу). (12.112)
Эти моды принято называть винтовыми. В неравномерно скрученном световоде,
гдепг, пу и v не являются постоянными, возникает взаимодействие винтовых
мод, которое описывается системой (12.110). В данном конкретном случае
качественный анализ [19] этой системы приводит к выводу, что эффективное
взаимодействие винтовых мод имеет место только на тех участках световода,
где есть переход от сильно скрученного (в масштабе периода биений мод) к
слабо скрученному волокну или наоборот1. В ряде применений (например,
оптическая связь) трансформация волн нежелательна и нужно ликвидировать
нерегулярные участки взаимодействия. В других случаях, например для
измерения локальных оптических характеристик волокна, нужна, наоборот,
эффективная трансформация мод. Отметим в заключение, что область
приложения эффектов линейной трансформации волн непрерывно расширяется.
1 Интересно, что и в неоднородных жидких кристаллах холестерического типа
эффективная трансформация винтовых волн происходит при переходе от сильно
закрученной к слабо закрученной спирали или наоборот [19] (имеется в виду
так называемая холестерическая спираль-винтовая линия; ее описывает
директор - единичный вектор, характеризующий направление, в котором
преимущественно выстроены длинные оси молекул жидкого кристалла).
Часть II
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Глава 13 Нелинейный осциллятор
13.1. Вводные замечания
Как и в первой части книги, анализ колебательных и волновых явлений в
нелинейных системах и средах (т. е. нелинейных колебаний и нелинейных
волн) и соответствующих им моделей будем проводить параллельно. В связи с
этим сделаем несколько кратких замечаний, в основном, исторического
плана.
Несмотря на то, что первые нелинейные задачи теории волн появились очень
давно (например, уравнение Кортевега-де Вриза, описывающее уединенные
волны на поверхности жидкости, было получено в 1895 г.), когда нелинейная
теория колебаний еще только зарождалась1, развитие теории нелинейных
колебаний и теории нелинейных волн в течение многих десятилетий шло
практически независимо. Теория волн, несмотря на отдельные исключения,
вплоть до 40-х годов оставалась в основном "линейной наукой".
Существенное повышение интереса к нелинейным процессам произошло
несколько позднее, когда теория ударных волн в газах нашла широкое
применение. По настоящему же "нелинейной" теория волн стала лишь
сравнительно недавно (в 60-е годы), прежде всего в связи с задачами
радиофизики, физики плазмы, нелинейной оптики и акустики2.
Источником задач тогда почти исключительно служила нелинейная механика,
