Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
являющихся геометрическим местом всех центров кривизны волновых
поверхностей. Эти поверхности являются каустиками. Они являются
геометрическими огибающими системы лучей1, т. е. в рамках геометрической
оптики поле за каустикой равно нулю -- лучи за нее не проникают. В
рассмотренном случае лучей со сферическим волновым фронтом обе
каустические поверхности сливаются в одну точку - фокус.
12.4. Распространение волн в плоскослоистой среде в приближении
геометрической оптики
При изучении распространения электромагнитных волн в изотропной плазме и
радиоволн через атмосферу Земли, а также акустических
1 Последнее утверждение следует из свойств геометрического места центров
кри-визны семейства поверхностей: лучи, являющиеся нормалями к волновым
поверхностям, касаются каустик.
Рис. 12.1. Элемент волновой поверхности, используемый для расчета
интенсивности волны в однородной
12.4. Распространение волн в плоскослоистой среде
255
волн в жидкости, в волноводах с нерегулярным заполнением, в земной коре и
т. п. широко и успешно используется модель неоднородной среды, свойства
которой изменяются только в одном направлении, т. е. п = п(х) при х>0ип =
по = const при х ^ 0. Здесь и далее не будем учитывать случайных
флуктуаций свойств среды. Рассмотрим волну, у которой плоскость падения
совпадает с плоскостью xz, а волновой вектор составляет угол & с осью х.
Для плоскослоистой среды уравнение эйконала имеет вид
Так как lz = pz/n. то при х ^ 0, когда и = Но, имеют место соотношения:
pz = nlz = no sin $о и Рх = и2 - Пд sin2 id. Интегрируя уравнение (12.56)
получаем
Знак перед корнем определяется направлением распространения луча: минус
соответствует распространению в положительном направлении х, плюс --- в
отрицательном. Из уравнений (12.42) с учетом соотношения (12.57) легко
получить уравнение траектории луча:
которое является обобщением закона Снеллиуса на случай плоскослоистой
среды. Из равенства (12.59) видно, что при dn/dx > 0 угол § уменьшается с
высотой, а при dn/dx < 0 он растет, т. е. в плоскослоистой среде луч
искривляется - имеет место рефракция. Легко понять,
('дЧ>/дх)2 + (ё?Ф jdz)2 = п2(х).
Из уравнений (12.42) с учетом того, что п = п(х), находим
pz = а = const,
(12.55)
(12.56)
(12.54)
с?Ф/dx = рх = у/\п2 (х) - а2.
X
Ф = по г sin (9о ±
п2(х) - Пд sin2 $0 dx. (12.57)
о
X
z= I Пд sin i90[п.2 (х) - Hq sin2 do] l/2 dx. (12.58)
о
Уравнение (12.44) приводит к равенству
п(х) sini?(x) = const = n0 sin$o,
(12.59)
256
Глава 12
что на высоте хо, определяемой из условия п(хо) = по sin do, происходит
поворот луча, что аналогично явлению полного внутреннего отражения.
Определим амплитуду волны из уравнения переноса (12.34), выписав для
удобства УФ и У2Ф. С учетом закона (12.59) будем иметь
УФ = z0n0 sin$0 + х0п(х) cosd, (12.60)
У2Ф = (d/dx)(ncosd), (12.61)
и, наконец,
fo(d/dx)(ncosd) + 2no smff0(dfo/dz) + 2ncosd(dfo/dz) = 0. (12.62)
Характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений,
соответствующая уравнению (12.62), имеет вид
cte/(2nosm#o) = dx/(2ncosd) = df0/[fo(d/dx)(n cos $)].
Откуда
/о = foo/Vncosd = /оо/\Jn2(x) - n2 sin2 d0. (12.63)
Общее решение (12.29) волнового уравнения может быть записано с учетом
(12.63) следующим образом:
/ = foo[n2(x) -Пц sin2 $o]_1/4expj*w? - k0zn0 sin d0 =F
X
=F к0 ^[п2 (x) - tiq sin2 d0] dx j. (12.64)
о
Два знака в формуле (12.64) соответствуют двум волнам, распространяющимся
в сторону возрастающих и в сторону убывающих значений х. Обе волны
распространяются независимо, т. е. в приближении геометрической оптики
частичного отражения волн от неоднородной среды не происходит1.
При п2 = Пд sin2 do, т. с. в той области, в которой происходит поворот
луча, амплитуда волны стремится к бесконечности, и, следовательно,
решение (12.64) в данном случае несправедливо. Как указывалось выше, при
распространении волн в неоднородной среде возможно образование фокусов и
каустик. В случае, если уравнение семейства лучей.
1Таким образом, полученное решение, как и следовало ожидать, имеет вид,
аналогичный ВКБ-решению (12.27).
12.4. Распространение волн в плоскослоистой среде
257
выходящих под углом ч9о из некоторой точки с координатами (0, х), имеет
вид
г = г($0, х), (12.65)
где $о является параметром, то уравнение каустики - огибающей семейства
лучей - находится [17] исключением $0 из уравнения (12.65) и уравнения
(9г($0: х)/д$0 = 0. (12.66)
Понятно, что приближение геометрической оптики неприменимо в областях,
близких к каустикам.
Как выглядят в случае плоскослоистой среды условия применимости
геометрической оптики - неравенства (12.35) и (12.36)? Для ответа на этот
вопрос определим с помощью формул (12.57) и (12.63) значения У2Ф и V2/o-
После простых преобразований находим
\(d/dx)(ncosid)\/(ncos,d)2 &о, (12.67)
\(d2/dx2)(n cos $)|/(n cos fl) ko\(d/dx)(n cos #)|. (12.68)
Неравенство (12.68) выражает ограничение, накладываемое на grad(ncos$). и
менее существенно, чем неравенство (12.67). В чем же смысл последнего?
