Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
(12.91) в виде
1м{х) = v(x) exp((1/2) J [(fce + kq + k0(x))2 +
+ (2i/ko(x))(ke + kg + k0(x))dk0(x)/dx -
- (dk0(x)/dx)2/kl(x)}ll2dx). (12.92)
Тогда после подстановки выражения (12.92) в уравнение (12.91) для v(x)
получаем уравнение
d2v fC2k%(x) i 2 ike+kqdk0(x)
d? + \1Ш 4^ - k' - ^ "2 ko(x) dx
3
,Щ(х)
2 ^ ^21
, , / '" = 0. (12.93)
dx J ko(x) dx2
dk0(x)\ j d2k0(x)
Излагаемый далее способ решения предложен А. Ю. Дмитриевым.
264
Глава 12
Пусть к0(х) изменяется таким образом, что двумя слагаемыми - (dko(x)/dx)2
и d2ko(x)/dx2 - можно пренебречь и считать, что (ке + кя)к^ 1
(x)dko(x)/dx ss dko(x)/dx. Тогда вместо уравнения (12.93) имеем
d2v/dx2 + F(x)v - О,
где
F(x) = + (1/4)[М*) -ке- К}2 - (12.94)
С2к%(х) 2 г dk0{x)
+ (l/4)[fc0(*)-*,-*,] -2-S-
Если теперь для F(x) выполняется условие (\0/2w)\dF(x)/dx\ <С F(x)
применимости приближения геометрической оптики, то с учетом первого из
граничных условий (12.90) получаем
1М = 2iA[F{x)]1/4 х
X X
х expj-г'У (l/2)[fc0(C) + ке + kq] dcj sin J \/F(() d(, (12.95)
о о
где A - произвольная постоянная. Подставляя выражение (12.95) в уравнение
(12.89), находим для распределения ВЧ-поля вдоль длины пространства
взаимодействия следующее выражение:
X
Е(х) = -2КС~2 Ay/QC exp^-i J (l/2)[ko{Q + ke + k4] dcj x
0
x
x j^/^cos J v7W)d( + [(ko(x) - ke - kq)F1^i{x) -0
x
- {i/2)F-5/4(x)dF{x)/dx]sm J у/Щ) dcj- (12-96)
о
Произвольная постоянная А может быть определена из второго граничного
условия (12.90), но в этом нет необходимости, поскольку условие
самовозбуждения колебаний на обратной волне
Е{1) = 0 (12.97)
такое, что все постоянные выпадают (I - длина пространства
взаимодействия). Чтобы получить простое аналитическое решение, будем
12.5. Линейное взаимодействие волн в неоднородной среде
265
считать, что
F(x) * {l/4)C2kl{x){QC)~1/2. (12.98)
С учетом выражений (12.98) и (12.96) из условия самовозбуждения (12.97)
имеем
i
(1/2)Ck00l(QC)-1/4 J ?{х) dx = тг/2, (12.99)
О
коо^(х) =ке + кя. (12.100)
В наиболее просто реализуемом практически случае ?(х) = 1 + ах (как в
плоскослоистой среде) из пусковых условий (12.99) и (12.100) находим
Сl/2)Ck00l(QC)-1/4(~L + al/2) = тг/2, (12.101)
ке + kq - fcoo = akool. (12.102)
Если параметры исследуемой ЛОВ и соответствующей ей лампы с неиз-
менной вдоль пространства взаимодействия фазовой скоростью обратной волны
одинаковы, то из условий (12.101) и (12.102) следует такое отношение
пусковых токов:
1"ф(х)/1"ф = 11+а1/2}-2. (12.103)
В общем случае (см. условия (12.99) и (12.100))
I
ДФ(*)Д"Ф = J2 / ft(x)dx. (12-104)
о
Из выражений (12.103) и (12.104) можно сделать вывод, что при
отрицательных градиентах ко(х) (или al < 0) пусковой ток увеличивается,
что позволяет указать способ повышения устойчивости ЛБВ-усилителя к
самовозбуждению на обратной волне. Рассмотрены два очень простых примера
линейного взаимодействия волн. Число подобных примеров можно продолжить,
их тысячи, - и касаются они самых разных областей физики - гидродинамики,
физики плазмы, электродинамики, акустики, а в последние годы - физики
жидких кристаллов, ферродиэлектриков, световодов, планарных волноводов и
др. Как считают авторы обзора [19], проблему линейного взаимодействия
волн можно сейчас назвать важнейшей проблемой линейной теории колебаний
266
Глава 12
и волн1. Исследования в этой области начались в 50-х годах нашего
столетия при изучении распространения волн в ионосферной плазме (см.,
например, [18, 20, 21]), а также при исследовании нерегулярных волноводов
в диапазоне СВЧ и акустических волн в слоистых средах (см., например,
[22,13]). В чем же в общем случае проявляется линейное взаимодействие
волн? Можно дать следующее определение. Явление линейного взаимодействия
волн (линейной трансформации мод) состоит в том, что при прохождении волн
через неоднородный участок среды их геометрооптические амплитуды могут
изменяться неадиабатическим образом. Иными словами, линейное
взаимодействие проявляется в отличии решений задачи о распространении
волн в неоднородной среде от решений в приближении геометрической оптики:
при прохождении излучения через неоднородную область среды отношение
амплитуд и разность фаз волн, составляющих это излучение, изменяются
иначе, чем следует из ВКБ-приближения, так что распространяющиеся волны
перестают быть независимыми. Характер и масштаб неоднородности среды в
области взаимодействия определяют трансформацию волн, исследуя которую
можно получить сведения о структуре самой неоднородности. Более того,
изменяя неоднородность, можно управлять эффективностью трансформации
волн, а следовательно, интенсивностью и поляризацией проходящих и
отраженных волн.
Изложим, следуя [19], постановку задачи о линейном взаимодействии волн в
более-менее общей физической ситуации - для волн любой природы в
произвольной анизотропной неоднородной среде.
Пусть в стационарной среде без источников распространяется
монохроматическая волна. Ограничимся рассмотрением одномерного случая и
