Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
будем опускать фактор exp(iu)t). Тогда волновые уравнения для N компонент
Ха поля можно записать (см., например, [20]) в виде системы
дифференциальных уравнений первого порядка
de/dQ = -'/Те. (12.105)
Здесь введены следующие обозначения: е --- ./V-компонентный вектор-
столбец комплексных полевых переменных Ха (а = 1, ... , N);
Т = Т(х) - квадратная матрица, определяемая локальными свойствами среды
(Т(х) не содержит дифференциальных операторов и имеет одинаковый вид как
для однородной, так и для неоднородной
1При дальнейшем изложении будем следовать обзору [19], в котором изложено
современное состояние проблемы взаимодействия электромагнитных волн в
слабо-анизотропвых, плавно неоднородных средах.
12.5. Линейное взаимодействие волн в неоднородной среде
267
среды); ? = кох - безразмерная пространственная координата вдоль
направления х распространения волн; к0 = w/c; с = const - характерная
скорость волн (в электродинамике - скорость света в вакууме). Частотная
дисперсия учитывается зависимостью Т(и>).
Представим вектор-столбец комплексных полевых переменных в виде
N
е = ?/<&, Si = *iei, (12.106)
*=i
где е; - нормальные волны, являющиеся полной системой собственных функций
для матрицы Т в каждой точке среды; е,е* = 1 (г = 1, ... , N).
Соответствующие им собственные значения - показатели преломления пг- -
определим с помощью уравнения Те; = пге;.
Подставим (12.106) в систему (12.105) и перейдем к уравнениям для
комплексных амплитуд взаимодействующих волн, считая щ = Пг(с), е; =
е;(С), /; = /;(С)- Тогда
N
dfi/dC + imfi = anfr- ач = (dgj/dCW*. (12.107)
j=l
При получении (12.107) использована взаимная с 8j система векторов 81*
таких, что 8j§y - Sij, Sij - символ Кронекера. Эта система определяет так
называемые "переносные" волны - собственные векторы транспонированной
матрицы Тт81* = тцё1*, так что матри-
N
ца TQ0 = ni8ia8lp ¦ Из системы (12.107) видна линейная связь (за-
i=i
висимость /; от fj при i ф j) между волнами в неоднородной среде, где
a,ij ф 0. Из условия ац = -{dSi/dQS1* = 0 следует уравнение
(l/Фi)dФ^/d( + dei/dСе" = 0 (12.108)
для определения множителей Ф;(С)- Условие ац = 0 означает, что локальные
значения показателей преломления взаимодействующих волн не зависят от
неоднородности среды (см. (12.107)). Можно показать, что в приближении
геометрической оптики уравнение (12.105) имеет независимые решения Ф;в;
ехр( - * f щ dQ. В них Ф; находятся из уравнения (12.108). Следовательно,
в соответствии с (12.106) взаимодействие геометрооптических волн
описывается изменением амплитуд /;• Когда aij -" 0. то из системы
уравнений (12.107) получаем решение
268
Глава 12
в приближении геометрической оптики (решение метода ВКБ):
В неоднородной среде, когда о^- ф 0, решения уравнений (12.107)
отличаются от ВКБ-решения (12.109). В этом отличии, как уже упоминалось,
и проявляется линейное взаимодействие волн, которое состоит в том, что
поляризация волны в приближении геометрической оптики (она задается
компонентами волнового поля XaJXp) не сохраняется адиабатически такой,
какой она локально должна быть для данной геометрооптической волны. Таким
образом, с точки зрения геометрической оптики при взаимодействии волн
различные компоненты поля меняются несогласованно и тем самым нарушают
локальную структуру данной нормальной волны е", что приводит к появлению
других волн.
В большинстве случаев рассматривают взаимодействие двух волн (попутных
или встречных), которое описывается уравнениями
Приближение двух взаимодействующих волн справедливо, во-первых, для
попутных волн, когда взаимодействуют только те две волны, дисперсионные
ветви ni(C) и /гг (С) которых сближаются, и, во-вторых, для встречных
волн, когда ветви близки друг к другу. Особо подчеркнем, что явление
линейного взаимодействия не только связано с характером поведения
дисперсионных ветвей волн, но в неменьшей степени определяется характером
их поляризации.
В обзоре [19] изложен качественный анализ линейного взаимодействия волн,
описываемого системой (12.110). Этот анализ позволяет выяснить
возможность появления и степень эффективности взаимодействия волн. Кроме
того, он позволяет выявить характерные зависимости эффекта трансформации
волн от свойств неоднородной среды.
Не будем далее останавливаться на математической стороне вопроса (см.
[19]). Опишем лишь кратко особенности взаимодействия мод в волноводных
системах, когда трансформация волн происходит из-за неоднородности
границ. В качестве примеров здесь можно упомянуть
С
(12.109)
dfi/dC + inifi = 012/2,
df2/d( + m2/2 = 021/1.
(12.110)
12.5. Линейное взаимодействие волн в неоднородной среде
269
неоднородные длинные линии, нерегулярные волноводы, планарные и
волоконные световоды и др. Уравнения, описывающие взаимодействие волн в
указанных системах, такие же, как уравнения (12.110), но коэффициенты
связи волн aij определяются локальными свойствами границ. Явление
взаимодействия волн обусловлено в обсуждаемых случаях нерегулярностью
