Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
Ai = А[ =В1=В[=С1= С[.
Тогда, вычитая уравнения (6) и (7), находим
(.А - Ах)р' + rq(B - С) = -L,
что показывает, что движение твердой мантии является таким же, как если
бы ее моменты инерции были А -Ах, B - Ai, С - А±, т. е. как если бы она
существовала независимо.
7. Предположим теперь, что тело симметрично относительно оси. Тогда
получим
А = В, Ах = В±, А'х = В[, Сх=С'х, N = 0 (9)
и уравнения
СУ +Cxr'x + B[(qpx - pqx) = О, Cxr' + Cxr'x + B[(qpx - pqx) = О,
которые выводятся из (6) и (7) при условиях симметрии. Принимая во
внимание соотношения (9), легко получаем
г' = 0, г = const
и
Cxr'x + B[(qpx -pqx) = 0. (10)
Кроме того, если предположить, что L = М = 0, то можно завершить
интегрирование через квадратуры.
Напомним, что г - константа, тогда из уравнений (8) получим величины
p2 + q2, pl+ql, ppi+qqi, (qpi-pqi)2
в виде многочленов второй и четвертой степени от гх- В этом случае
уравнение (10) дает нам п в эллиптической функции времени. Наконец, мы
можем показать, что, например, производная по времени
Ар + А[рх
arctg ------ -
Aq + A[qx
есть известная функция времени.
82
О прецессии деформируемых тел
8. Рассмотрим случай, когда р, q, pi, 51 бесконечно малые первого
порядка. Тогда из соотношения (10) следует, что компонента г± является
бесконечно малым второго порядка и ей можно пренебречь. Положим
-L = Kcoskt, -M = -Ksmkt, N = 0.
В общем случае L и М - периодические функции времени, которые можно
разложить в ряд Фурье. Мы рассмотрим только один из членов разложения.
Если положим, что амплитуда при sin и cos одна и та же, то можно записать
С cos kt = A cos kt + A' cos(-kt)\
D sin kt = A sin kt + A' sin (-kt),
где
С = A + A', D = A-A'.
Пренебрегая n и учитывая равенства (9), перепишем уравнение в виде
Ар' + А[рх + r(Aq + A[qi) - qCr = К cos kt,
Aq' + A[qi - r(Ap + A[pi) + pCr = -K sin kt,
A^p' + Axp'x + qiCir = 0,
A\q' + Aidx - piCir = 0.
Отсюда находим
p = asinkt, q = acoskt, pi = ai sin kt, qi = aicaskt,
где коэффициенты a, ol\ подчиняются уравнениям
J (Aa + A'-^ai)(k + r) - aCr = K, у (A^a + A\a.\)k + Сцацг = 0.
9. Для анализа системы (11) предположим, что сплюснутость очень мала. Это
позволяет, как было показано выше, положить А± = А'. Кроме того,
предположим, что два эллипсоида, внешний и внутренний, почти одинаковы.
Это условие можно записать в виде
A Ai
С Сг
I. Твердая мантия и жидкое ядро
83
или
С-А_С1-А1 _
А Аг ?'
где е - степень сплюснутости. Теперь положим
А = 1, А\ = А, (7 = 1 + е, Ci = Л(1 -Ь ?¦), А ад = j3.
Это возможно за счет выбора единицы измерения. Тогда для твердого тела А
= 0, а для жидкости, покрытой очень тонкой мантией, А = 1. При этом
уравнения (11) принимают следующий вид:
<a{k-er) +f3(k + r) =К,
\ аХк + (3{к + г + ег) = О,
откуда
аА - К(к + г + ?Т), где Д = (к-ег)(к+г+?г) - \к(к+г)-определитель
уравнений (12). Необходимо узнать, каким образом амплитуда а нутации
меняется в зависимости от А (т. е. как она зависит от толщины твердой
мантии).
Поскольку к + г + ег не зависит от А, то видно, что а обратно
пропорциональна Д.
Пусть N - число дней в периоде рассматриваемой нутации. Будем иметь
к + г _ г _ к 1 " - N ~ N + 1'
Следовательно Д пропорциональна (N + 1 + ?N)( 1 - eN) - A (TV + 1) или,
поскольку ?N незначительно по сравнению с N + 1, пропорционально (N +1)
(1 - ?N - А) или 1 - ?N - А. Если мы обозначим через сщ амплитуду нутации
для твердого тела, т. е. для А = 0, то получим
а _ ?N - 1 ао eN - 1 + А '
Легко видеть, что если eN очень велико, т. е. если период нутации очень
велик по сравнению с обратной величиной сплюснутости, то отношение АЕ
приблизительно равняется единице, таким образом, нутация мало отличается
от своего теоретического значения. Однако это не справедливо для коротких
нутаций в отличие от полугодовых или полумесячных нутаций, которые могут
поменять знак и становятся бесконечными для некоторого значения толщины,
такой, что выполняется условие
eN = 1 - А.
84
О прецессии деформируемых тел
Таким образом, в целом выводы лорда Кельвина проверены. Однако полученные
числовые значения не совпадают. Я ему как-то сообщил об этом, и он мне
ответил, что один ирландский ученый указал ему уже это уточнение. Но я не
знаю, написал ли этот ученый что-нибудь по этому поводу.
Можно также задаться вопросом, каков период собственных нутаций системы.
Это соответствует случаю, когда Д обращается в нуль, что дает
Он является более коротким, чем период Эйлера. Напротив, известно, что
период Чандлера, определенный из наблюдений, является длиннее.
II. Однородная жидкость
1. Изложив предшествующие результаты, лорд Кельвин задается вопросом -
какой была бы прецессия свободной жидкой массы - и говорит, что она
должна вести себя как твердое тело.
"Хотя, - говорит он, - общая задача не была еще решена совместным
образом, я думаю, что скоро появится полное решение, которое покажет, что
прецессия и нутация будут практически такими же, как в твердом шаре".
Сейчас мы увидим, что эти предположения вполне обоснованы.
