Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
Y/x'{dx1 = ^--dV1,i. (2)
Величина D в этом случае не меняется. Сравним теперь однородную жидкость,
подверженную внешним действиям, и пометим индексом 2 соответствующие
буквы. Получим
^ ж" dx2 = dpi ~ dV2i - dVe. (3)
D стало равняться единице, a Ve предположительно является та-
ким же, как в первом случае. Рассмотрим, наконец, случай однородной
жидкости, освобожденной от всякого внешнего действия и приведенной в
равномерное вращение. Отмечая буквы показателем 3, получим
У] x'i dx3 = dp3 - dV3i. (4)
Во втором параграфе мы увидели, что если период нутации доста-
точно большой, то однородная жидкость будет вести себя как твердое тело.
При этом потенциал Vi будет одинаковым в обоих случаях (для той же
частицы хо, уо, zq). Действительно, этот потенциал вызван притяжением
эллипсоида, а этот эллипсоид переместился, не деформируясь, вовлекая в
свое движение точку, притягивающую хо, Уо, zq. Следовательно, получим
V2i = V3i.
96
О прецессии деформируемых тел
Также имеем равенство
Р2 =Рз
(значение постоянных Л и Л' во втором параграфе одинаково в обоих
случаях). Следовательно, вычитая (3) из (4), получим
dVe = х'1 dxз - ж2 dx2- (5)
Заметим также, что движения однородной жидкости в случае уравнения (2) и
в случае уравнения (4) одинаковы, так что имеем
XI
= хз, х" = х'з, У^х" dx 1 = У^х'з dx3.
Но уравнением (1) можно удовлетворить, если предположить, что
неоднородная жидкость движется согласно тем же законам, что и однородная
жидкость в случае уравнения (3), т.е. таким образом, что х = Х2, это
влечет за собой
= х'2, У] х" dx = У] х'2 dx2.
Необходимым и достаточным условием существования этого решения является
возможность приведения dp к выражению, которое является полным
дифференциалом функции, обращающейся в нуль на свободной поверхности.
Если х = Х2, то жидкость ведет себя как твердое тело, и можно, повторяя
наше рассуждение, использующее V2,i = V3,*, доказать, что
Vi = V1,i.
При этих условиях уравнения (1) и (2) принимают вид
У ж" dx2 = jj- dVi - dVe, (1 bis)
У х'з dx3 = -^~- dVi. (2 bis)
Вычитая первое уравнение из второго и принимая во внимание уравнение (5),
находим соотношение
dp = dpi,
III. Гиростатическая жесткость
97
которое показывает, что dp - полный дифференциал функции pi, которая
обращается в нуль на свободной поверхности. Что и требовалось доказать.
Таким образом, как для неоднородной свободной жидкости, так для
однородной свободной жидкости прецессия и нутация будут такими же, как
для твердого тела.
2. Очевидно, мы вновь возвращаемся к уже знакомому понятию
гиростатической жесткости, и в этом случае можно задаться вопросом,
почему данное рассуждение не применимо в случае, рассмотренном в первом
параграфе, в случае, для которого мы получили совершенно иные результаты.
На самом деле это доказательство остается применимым, но есть важное
различие. Напомним формулу из первого параграфа:
а _ eN - 1 "о " sN - 1 + Л'
Когда N стремится к бесконечности, отношение ^ стремится к 1, т. е.
рассматриваемое тело стремится вести себя как твердое тело: однако в
формуле фигурирует не N, a eN, и N может быть очень большим, хотя eN не
велико. Если eN очень большое, т. е. если период нутации, выраженный в
днях, является очень большим и не только по абсолютной величине, но и по
отношению к обратной величине сплюснутости, то гиростатическая жесткость
проявляется в полной мере, и нутация будет такой же, что и для твердого
тела. Но этого не произойдет, если eN является конечным. Это явление уже
объяснил лорд Кельвин, однако мы рассмотрим его более подробно.
3. Каково происхождение гиростатической жесткости? Это не что иное как
частный случай более общего явления резонанса.
Рассмотрим некоторую систему в абсолютном или относительном равновесии и
изучим ее малые колебания вблизи положения равновесия. Их можно
определить с помощью линейных уравнений. И если х, у, z, ... представляют
координаты системы (которые в положении равновесия равны нулю), то
получим уравнения в виде:
D(x, у, z, ...) = ^AelEt,
где D - линейная функция с постоянными коэффициентами относительно х, у,
z, ... и их производных. YI Aelet представляет совокуп-
98
О прецессии деформируемых тел
ность членов, возникающих вследствие возмущающих внешних сил, которые
разлагаются в ряд Фурье. Рассмотрим, в частности, уравнения без правой
части
D(x, у, z, ...) = 0, (6)
которые определяют собственные колебания системы и уравнения
D(x, у, z, ...)=Аеш, (7)
которые позволяют учесть действие одной из составляющих возмущающих сил.
Уравнение (7) будет удовлетворено, если положить
x = aeiet, y = bei?\ z = ceiet, ... (8)
Находим, что а, 6, с, ... заданы системой уравнений с коэффициентами,
зависящими от е, разрешая которую, получим
РЛе) , №)
а = -т-, о = -т-, ... ,
Д ' Д ' '
где Д - многочлен с вещественными коэффициентами от ?, не зависящий от
коэффициентов А, который является детерминантом системы линейных
уравнений, Pi, Рг - многочлены от ? с вещественными коэффициентами,
