Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
У
Что касается - -, сошлемся на замечание, сделанное выше, что
1 V" ^
d2(-dp) dx2
-SP на прямой, параллельной оси х, имеет единственный максимум при х = 0
и что, следовательно, эта производная отрицательна.
С другой стороны, полагая
SP = f(R), Щ- = f(R),
находим (поскольку в точке В z = 0)
1 dSP = Г d26P = Г У dy + dz2 Д'
отсюда
1й$Р = л d2SP _ _/
У dy ' dz2
Кроме того, из уравнения Пуассона Д#Р = +47Г(0 (где р - плотность
жидкости) выводим
~^Т2~ = -4тг/э + е + е'.
dy2
Таким образом, нам необходимо рассмотреть е как положительное, однако
знак е' неизвестен, хотя эта производная, вероятнее всего, положительна.
Итак, получаем
d2(p- Р) _ 2
dy2
= За; + 2uxj,y - 4-7Гр + ? + Зё' < 0.
64
Заметки о гипотезе Лапласа
Если р очень мало, то с необходимостью е и Зе' также малы, что влечет за
собой
За;2 + 2изиз'у < 0.
Это означает, что ш2у3 убывает, когда растет у. Следовательно, если в
окрестности точки В функция о;2?/3 убывает, то устойчивость может иметь
место при сколь угодно низкой плотности р, но если функция из2у3
возрастает, то кольцо может быть устойчивым, только если плотность
остается выше определенного предела.
Чтобы уточнить результат, предположим, что масса кольца очень мала не
только по отношению к массе центрального ядра, но и относительно массы
атмосферы, которая остается вокруг этого ядра.
Тогда положим
? = ?l + ?2? ?* = ?i + ?2?
где ?1 и ?х относятся к притяжению атмосферы, находящейся вокруг ядра, а
?2 и 4 - к притяжению кольца. При данных условиях е'х положительно, если
предположить, что свободная поверхность атмосферы ядра является выпуклой;
с другой стороны, е'2 очень мало по сравнению с ?х; отношение между этими
двумя величинами такого же порядка по величине, как отношение линейных
размеров меридианального сечения кольца к меридианальному сечению
атмосферы ядра. В конечном итоге, заключаем е' > 0 и, следовательно,
47Гр > За;2 + 2и>ш'у. (5)
Если бы вращение было равномерным, это дало бы
47Гр > За;2.
Заметим, что для образования кольца необходимо, чтобы функция о>2у3 была
возрастающей в точке А, а для того, чтобы кольцо было устойчивым, если
при этом плотность очень низкая, необходимо, чтобы эта функция была
убывающей в точке В. Исходя из того, что эти две точки находятся вблизи
друг от друга, заключаем, что в кольце, в момент его образования, функция
а)2у3 является практически постоянной.
Теперь найдем нижний предел плотности. Этот результат должен быть близок
к тому результату, который был дан ранее для кольца Сатурна1, но предел
этот более точен. Вернемся сейчас к тому вычис-
хО кольце Сатурна см. Пуанкаре "Фигуры равновесия", РХД, 2000. - Прим.
перев.
Заметки о гипотезе Лапласа
65
лению, которое было сделано для кольца Сатурна. Необходимо, чтобы во всех
точках поверхности кольца
?(ю-Р) <0,
где -j- обозначает производную по нормали, направленной наружу.
Следовательно, имеем, на основании теоремы Грина,
I -?(<Р~Р) da = f A(lp-P)dT< О,
где dcr - элемент поверхности кольца, a dr - элемент его объема. Итак,
Д р = 2 ш2 + 2 шоз'у,
АР = 4жр;
отсюда
4жр > 2а;2 + 2ши>'у.
3. Плотность также имеет верхний предел. Для того, чтобы его
вычислить, достаточно обратиться к расчетам Максвелла кольца Сатурна,
принцип которых мы вкратце напомним. Пусть кольцо, образованное
спутниками, равномерно распределено по окружности радиуса а и движется по
этой окружности равномерно. Пусть а и щ + ujt - полярные координаты
одного из спутников. Допустим, что он сместился и его координаты стали
а( 1+е), Щ +и;у + а,
где е и а очень малы. Пусть V - потенциал, вызванный взаимным притяжением
этих спутников.
Уравнения в вариациях, которые определяют ей а, суть следующие: (а',...
обозначают производные от а,... по времени)
Зш2е + 2ш(т' -s' = а'+ 2и}е'=\^. (6)
a2 de a2 da
Постараемся удовлетворить уравнениям (6), приняв
е = A cas(mvQ + nt), а = В sm{mv'0 + nt).
66
Заметки о гипотезе Лапласа
Поясним: у нас столько же пар уравнений, сколько и спутников; е и а не
одинаковы для всех спутников и, следовательно, это не только функции от
t, но и от щ - исходной долготы спутника, которая является величиной,
отличающей одни спутники от других. Коэффициент т должен быть целым
числом. Действительно, когда щ увеличивается на 27Г, мы вновь оказываемся
на том же самом спутнике. Следовательно, необходимо, чтобы е и сг
принимали те же значения. Что касается п, то оно является неизвестным.
При таких условиях будем иметь
= а2Аа cos(m^o + nt), = а2В(3 sinfm^o + nt), cfe аст
где а и /3 - постоянные коэффициенты, которые мы постараемся определить
немного позже. Итак, подставляя в уравнение (6),
(За;2 + п2 + а) А + 2 изпВ = 0, 2 итА + (п2 + fi)B = О,
или, исключая А и В,
(За;2 + п2 + а)(п2 + /3) - 4а;2п2 = 0. (7)
Для устойчивости это уравнение должно иметь вещественные корни. Если
предположить массу кольца равной нулю, то мы имели бы
а = fi = 0, п2(п2 - из2) = 0,
и устойчивость была бы обеспечена; если предположить, что и> = 0,
