Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
поверхность жидкости не искажается. Следует положить
-2+у2
р2 с
откуда
<*171 + <*272 <*з7з _ Pi'll + /З272 /З373 _ п
р2 с2 р2 с2
Заменяя в этой формуле од, аз, /3i, fo, 73 на р cos cot, - р sin
cot,
р sin cot, p cos cot, с, переменные 71 +172 и аз + i/Зз на ( и t)
и используя
то же вычисление, что и в п. 16 второго параграфа, найдем
eiw4 , У _ п
р + с '
или
ceiut?, + рр = 0.
Если записать условие, что внутренняя поверхность твердого тела и внешняя
поверхность жидкости испытывают одинаковую деформацию, то получим
celut(i - ?1) +р(г] - щ) = 0. (11)
6. В п. 13 второго параграфа мы нашли постоянную площадей для
жидкости. Сделаем те же самые вычисления и для твердой мантии.
Действительно, мы имеем
т(х'у - ху') = (070:2 - <*2<*i) ~Y/ тхо + 'Y/ тхоуо(...)+... Здесь более
нельзя предполагать, что
Yтхо = Ymyo = Ymzo¦
102
О прецессии деформируемых тел
Но, так как тело обладает осью симметрии, можно записать следующие
выражения
X тх0уо = X my0z0 = X mx0z0 = 0,
X тхо = X туо = А' X mz° = С'
где постоянные А и С имеют другое значения, чем во втором параграфе.
Далее легко видеть, что
X т(х'у - ху') = А[(а[а2 - а'2аi) + {0ф2 ~ P'2Pi)] + С{7(72 - 727i)-
Находим также
Ж = т(х'z - xz') =
= H[(aia3 - 0:30:1) + {(3[(3Z - (З'фг)} + С(7[j3 - 7371),
? = у~2m(y'z - yz') =
= А[(а'2аг - а'га2) + (Р'2Рз ~ Р3Р2)] + С(7273 - 7372). Составим
выражение
-Ж - г?,
заменив
oi+io2, (3i+if32, J3, оз+г'оз, 71 + г 72
их значениями
ре-*"*, гре-*"*, с, ?1
(переменные щ, ?1 введены для твердой мантии); находим следующее
уравнение
-Ж- г? = Аре-^1^ + шу 1) - Се?.
С помощью подобного вычисления было получено уравнение (13) в п. 16
второго параграфа. Чтобы получить выражение, аналогичное для -Ж - г? и
соответствующее всему телу, необходимо добавить первый член этого
уравнения (13), что приводит к выражению
Ape-*"*(pi + iojy 1) - + ре-*"*(р' + iujy) - ct;'.
III. Гиростатическая жесткость
103
На основании закона площадей это выражение должно быть постоянным, если
отсутствует внешняя сила. Если же таковая имеется, то его производная
должна равняться простой комбинации моментов внешних сил, то есть
известной функции времени. Раскладывая последнюю в ряд Фурье, находим
Ape-iut{r,'l + ш2гц) - Сс?," + pe~iut{r," + w2V) - eg' = ^ Веш. (12)
7. Кроме того, у нас есть второе уравнение (18) из второго параграфа,
которое остается справедливым, поскольку оно получается как производная
уравнения Гельмгольца (12) из второго параграфа. Оно составляет вместе с
уравнениями (10), (11), (12) полную систему наших уравнений, которую
можно записать, сохраняя при этом один из членов правой части уравнения
(12), в виде
Аре~ш(?]" + ш2тц) - Сс? + pe~iwi(rj' + ш2т]) - eg'
Аре~шfa" + ш2щ) - Сс?" + ре"4"* fa" + ш2тj) - eg' = Веш;
' peiwtg + crji = 0,
< сегш*(?-g) + p(t] - щ) =0, . oj2peiui - crj" + peiutg' = 0.
(13)
Проинтегрируем их, полагая
pi = аеш, ер = bei{u+s)t, pg = axeie\ стц = &iei("+e)*,
что приводит к соотношениям
' ai + bi = 0,
(14)
" a(w2 - е2) + Ь(со + е)2 = 0.
104
О прецессии деформируемых тел
Детерминант этой системы записывается следующим образом
Се2 2 we + е2 л ?2
Р2 2 Р с2 с2
0 1 0 1
X _ J_ X
Р2 Р2 с2 с2
, ,2 с-2 СО - ? 0 (и + е)2 0
Так как первая строка матрицы делится на е, Д также делится
на е.
Коэффициент при е равен
0 0 _ 2ш с2
0 1 0
J_ 1 JL
р2 0? 1 N (r).° с2 0?
2Аш
0
\)Ц{1 + А).
С ' с
Следовательно, Д не делится е2, исключая случай 4г = т. е. если
Р с
внутренняя полость несферична. Для последнего случая можно установить,
что
Д = 2е2(ш + е)(2 Aw + Ae + Ce)\.
С
Следовательно, уравнение Д = 0 допускает при очень малом 4- -\
Р с
четыре корня, один из которых равен нулю, другой - очень мал, третий -
равен -ш и четвертый близок к - Мы видели, чему соот-
А С/
ветствует первый (вращение всего тела вокруг оси, мало отличающейся от
оси z) и третий корни (перемещение жидких частиц внутри жидкого ядра, при
котором одни частицы легко заменяются на другие).
Именно наличию второго очень малого корня мы обязаны всем особенностям
явления. Если период возмущающей силы соответствует очень малому е,
возникает резонанс с нулевым корнем. Если бы существовал только один
такой резонанс, то тело вело бы себя примерно так, как при собственном
колебании, которое соответствует этому нулевому корню, т. е. как твердое
тело, и имелась бы гиростатическая
IV. Воздействие упругости
105
жесткость. Это происходит, если сплюснутость внутренней эллиптической
полости не слишком мала. Но так как она очень мала, то уравнение Д = 0
допускает очень малый корень. Возникнет двойной резонанс, и амплитуда
нутации будет сильно отличаться от амплитуды твердого тела.
IV. Воздействие упругости
Теперь рассмотрим, что произойдет, если предположить, что твердая часть
Земли является не твердым, а упругим телом. Предположим сначала, что
Земля полностью является упругим твердым сфероидом, и затем, что она
является твердым упругим сфероидом, заполненным жидкостью.
