Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
что именно это выражение нам даст количество действия, которое
уравновешивается со всех сторон, и не приходится сомневаться в том, что
это выражение
j Vdv+ J V'dv' + f V" dv" является истинной мерой количества действия
сил, действующих на жидкую
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
65
массу; это не подлежало бы сомнению даже в том случае, если бы не было
других оснований, которые позволили бы нам определить эту меру. Но
Мопертюи в своей прекрасной статье о законах равновесия разъяснил
принципы, из которых он вывел точно ту же самую меру количества действия
сил ; эти принципы дали ему для рассмотренного случая равновесия жидкой
массы то же самое выражение
j Vdv+ J V dV + J V"dv",
причем ему не пришлось прибегать к обычным принципам механики. Отсюда
можно вывести следующее правило для нахождения количества действия сил,
которые приложены к какой-либо точке Z : каждую силу V следует умножить
на дифференциал линии ZC - v, в направлении которой действует эта сила,
взять интеграл от произведения V dv, и сумма всех этих интегралов
j Vdv + j V'dV + J V" dv"
даст количество действия всех этих сил на точку Z. Это правило, которое
вытекает непосредственно из принципов Мопертюи, таким образом, вполне
согласуется с решением, которое я только что вывел из обычных принципов
механики.
XII. Мопертюи в своих рассуждениях по этому вопросу пошел еще дальше и
высказал мнение, что количество действия сил, которые действуют на
частицы поверхности жидкой массы, не только повсюду одно и то же, но что
его значение является наименьшим из всех возможных. Это свойство, столь
согласное с общими законами природы, которая стремится постоянно получить
известный эффект наименьшей ценой, является также вполне естественным
следствием из решения, которое я только что нашел. В самом деле, так как
значение этого выражения
j Vdv + J V'dV + J V"dv" повсюду одно и то же, то его дифференциал равен
нулю, или
Vdv + V'dV + V"dv" =0.
Но известно, что для того, чтобы переменная величина была наибольшей или
наименьшей, нужно, чтобы ее дифференциал был равен нулю. Обратно, так как
для формы жидкой массы дифференциал
[Vdv+\V'dv' + V"dv"
равен нулю, то можно сказать, что его интеграл является минимумом.
Правда, это обращение не всегда справедливо ; например, хотя для круга,
который выражается уравнением
хх + уу = аа,
дифференциал количества хх + уу и равен нулю, но мы не могли бы сказать,
что количество хх + уу здесь является максимумом или минимумом. Общий
принцип природы требует, чтобы количество действия
J V[dv + J V'dV + j V"dv"
было минимумом, так что исключение, получающееся в приведенном примере с
кругом, здесь не может иметь места; я сейчас докажу этот вывод при помощи
совершенно частного случая, который непосредственно очевиден.
XIII. Предположим, что жидкая масса уменьшается до бесконечности, так что
она сокращается до одной точки Z ; спрашивается, где должна быть помещена
эта точка Z, чтобы она, находясь под притяжением к центрам сил
5 Вариационные принципы механики
66
Л. ЭЙЛЕР
С, С', С", была в равновесии. Прежде всего мы убедимся, что это место
равновесия точки Z будет там, где количество действия сил, или значение
выражения
J Vdv + J V'dv' + J V"dv"
будет наименьшим. Когда я это докажу, будет совсем нетрудно признать, что
для случая жидкой массы конечной протяженности имеет место то же самое
рассуждение и так как дифференциал того же самого выражения также равен
нулю, то значение этого выражения будет минимумом. Ибо, если бы это
заключение не было справедливо в случае жидкой массы, то оно так же не
было бы справедливо и в случае, когда жидкая масса сократилась в одну
точку. Но от случая состояния равновесия точки, находящейся под действием
каких-либо сил, который я только что рассмотрел, зависят первые основания
статики, а именно, сложение и разложение сил, истинность которого поэтому
тем менее подвергается сомнениям ; впрочем, доказательства, которыми
обычно тут пользуются, недостаточно точны, ибо в них привносится
рассмотрение движения, которое представляется совершенно чуждым в том
случае, когда идет речь о состоянии покоя. Николай Бернулли хорошо
показал этот общий недостаток в I томе записок Петербургской академии,
где он дал прекрасное доказательство этого принципа статики, являющееся
весьма остроумным и в то же время чисто геометрическим, основанным на
неоспоримых аксиомах.
XIV. Все же я льщу себя надеждой, что следующее доказательство того же
принципа, которое я сейчас дам, будет признано в равной мере
убедительным, хотя оно и основывается на некотором принципе, взятом из
метафизики. Пусть Z - какая-нибудь точка, которая
л " под действием трех сил V, V', V", действующих
по направлениям ZC,ZC',ZC", находится в данное время в равновесии; можно
утверждать, что тогда эти три силы относятся между собой, как синусы
противоположных углов C'ZC", CZC", CZC' (рис.3). Чтобы доказать эту
истину, на которой основывается вся статика, я буду рассматривать вместо
