Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 34

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 461 >> Следующая

сил упругие нити, равные между собой, которые, будучи прикреплены к
линиям АВ, А'В', А"В" и оттянуты к неподвижным стенкам EF, E'F', E"F",
действуют на точку Z посредством стержней ZC, ZC', ZC" точно так же, как
и данные силы V, V', V". Пусть сила, с которой каждая упругая нить
стремится сократиться, будет равна единице, а число нитей, которые
прикреплены к линии АВ и стремятся приблизить ее к стенке EF, пусть будет
равно V, с тем, чтобы полная сила этих упругих нитей была равна V и чтобы
на точку Z, таким образом, действовала та же сила V в направлении ZC.
Пусть точно так же число подобных нитей, прикрепленных к линии А'В',
будет равно V', и число нитей, прикрепленных к линии А"В", равно V", с
тем, чтобы на точку Z в направлениях ZC и ZC" действовали силы V' и V".
XV. При таких условиях ясно, что эти силы действуют лишь поскольку
упругие нити стремятся сократиться, и точка Z могла бы находиться в покое
лишь при невозможности дальнейшего сокращения длин всех этих нитей
одновременно. Поэтому со мной легко согласятся, что точка Z будет тогда в
равновесии, когда нити сократились насколько это возможно, или когда
сумма длин всех нитей, взятых вместе, будет наименьшей ; в самом деле,
aj'
?\\
\\ \\
п\° у
У а"<< V' Рис. 3.
Ь"
В"
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
67
если бы точка Z могла быть оттянута в другое место 2, в котором
сокращение длин нитей, рассматриваемых вместе, было еще значительнее, то
не было бы сомнения в том, что силы перенесли бы точку в это место,
прежде чем наступило бы состояние равновесия. Этот принцип столь
очевиден, что достаточно очень немного поразмыслить, чтобы быть
убежденным в его истинности ; в самом деле, нити фактически будут
укорачиваться, пока будет возможно дальнейшее их сокращение и они не
прекратят своего действия, пока не встретят непреодолимых препятствий,
которые сделают невозможным еще большее сокращение. Итак, если мы
обозначим длины упругих нитей так : AG = х, A'G' = х' и A"G" = х", то
общая длина всех нитей, взятых вместе, будет равна
Ух + Vx' + V"x"
и эта длина будет, следовательно, наименьшей, когда точка Z придет в
состояние равновесия.
XVI. Поэтому, если точка Z будет смещена бесконечно мало из положения
равновесия, то значение выражения
Vx + Vx' + Vx"
останется тем же самым, или его дифференциал
Vdx-f V'dx'+ V"dx"
будет равен нулю ; ибо я здесь буду рассматривать силы V, V', V" как
постоянные, так что они не увеличиваются и не уменьшаются, когда упругие
нити удлиняются или сокращаются ; я здесь делаю это предположение, чтобы
иметь дело со случаем более очевидным и менее запутанным; после этого
нетрудно рассмотреть и случай, когда силы V, V и V" сами переменные.
Итак, предположим, что точка Z смещена на бесконечно малое расстояние Zz,
а так как это изменение может быть произведено бесчисленным множеством
способов, я выберу тот, при котором точка z так же удалена от АВ, как и
точка Z, так что при этом смещении нити AG и ВН не претерпевают никакого
изменения. Но так как точка Z этим перемещением Zz приближается к E'F' и
удаляется от то нити A'G' и В'Н' укорачиваются, а нити A"G" и В"Н"
удлиняются; следовательно, линия А'В', к которой прикреплены нити,
перейдет в положение а'Ь', а линия А"В" - в а"Ъ", поэтому сокращение
одних нитей будет равно А'а', удлинение других •- А"а". Но по свойству
бесконечно малых общее удлинение V"A"a" с одной стороны должно быть равно
полному сокращению длин [19 ] с другой стороны. Проведем линии zc' и zc",
равные и параллельные линиям ZC' и ZC", и опустим перпендикуляры Zq, zp;
тогда сокращение длины А'а' будет равно Zp, а удлинение А"а" равно zq;
поэтому мы будем иметь
V Zp = V" zq,
откуда получается пропорция
V': V" = zq:Zp.
Но, если принять Zz за полный синус [20], то zq будет синусом угла zZq
или угла CZC", так как углы CZz и C"Zq прямые ; точно так же Zp будет
косинусом угла zZp, а следовательно, синусом угла CZC'; отсюда следует,
что силы V и V" относятся между собой, как синусы углов CZC" и CZC', а из
этого можно вывести известную пропорцию :
сила ZC : сила ZC': сила ZC" = sin C'ZC" : sin CZC" : sin CZC'.
XVII. Это новое доказательство общего принципа статики, в силу которого
три силы, приложенные в одной точке, находятся в равновесии, когда
68
Л. ЭЙЛЕР
эти силы относятся между собой, как синусы противоположных углов,
убеждает нас не только в том, что дифференциальное выражение
Vdx + V'dx' + V" dx" должно равняться нулю, но и в том, что значение
конечного выражения
Ух + V'x' + V"x"
в этом случае является наименьшим. Я предположил здесь силы V, V, V"
постоянными, или что они остаются теми же самыми, каким бы изменениям ни
подвергались упругие нити, которыми я их заменил ; но дифференциальное
выражение останется прежним, хотя бы силы и были переменными. С этой
целью достаточно обозначить расстояние ZC = v, ZC' = v', ZC" = v". Тогда
имеем: dx = -dv, dx' = -dv', dx" = -dv". Кроме того, если силы V, V', V"
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed