Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
FZ перпендикуляр ZN; тогда, очевидно, субнормаль будет
Если через точку N- провести перпендикуляр NP к прямой YN в плоскости
ВАС, к которой перпендикулярно сечение FZ, то все прямые, проходящие
через точку Z и пересекающие прямую NP, будут также перпендикулярны к
сечению FZ. Следовательно, если из точки Р пересечения прямых МР и NP мы
проведем прямую PZ, она будет перпендикулярна к самой данной поверхности
EZF. Итак, точку Р, в которой искомый перпендикуляр встречает
^2 у
плоскость ВАС, мы найдем, если возьмем YM =------------ и YN = - z и
если на этих отрезках построим параллелограмм YMPN; четвертая вершина
его, Р, будет искомой точкой. Итак, очевидно, что, имея для поверхности
дифференциальное уравнение X dx-j- Ydy + Zdz = 0, можно получить из него
длины отрезков YM и YN в конечном виде. Это и требовалось найти.
V. Задача II. Найти силы, которые могут действовать на точку Z
заданной поверхности, при условии, что их среднее направление
перпендикулярно к этой поверхности.
Решение. Пусть, как и раньше, Xdx-у Ydy + Zdz = 0 - дифференциальное
уравнение, которое определяет вид заданной поверхности в координатах АХ =
х, XY = у и YZ - z. Какие бы силы ни действовали на точку Z, они всегда
могут быть приведены к трем силам, направления которых параллельны трем
осям АВ, АС и AD. Пусть Q - сила, действующая в направлении, параллельном
АВ, R - сила, действующая в направлении АС и S --в направлении AD таким
образом, что эти силы стремятся увели-
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
59
чит^ значения переменных х, у, z. Так как среднее направление этих сил
[1б] должно быть перпендикулярно к поверхности, то оно совпадает с пря-
-X Z
мойZP, положение которой мы только что определили, найдя YM = -
Yz
и YN = - ~y~ • Пусть Р- сила, которая, действуя в направлении ZP,
эквивалентна трем заданным силам Q, R, S. Поэтому эта сила Р, будучи
разложена по направлениям ZY и ГР, даст в направлении ZY силу, равную YP
YP
~2р~Р> а в направлении, параллельном YP, - силу, равную-jp-P; эту
последнюю мы разложим еще по направлениям YM и YN и получим в направлении
YM силу (tm)-Р, а в направлении YN - силу, равную Р. Итак,
сила Р будет разложена на три силы по направлениям, параллельным трем
осям АВ, AC, AD; из них первая, которая действует параллельно АВ,
будет равна ~^jY~P> вторая, которая действует параллельно АС, будет равна
YN г, - Лп г YZ г,
ZP~ Р, третья, которая действует параллельно AD, будет равна -хр~ '
потому что направление ZY последней противоположно направлению оси AD, к
которой мы ее относим. Итак, чтобы сила Р, направленная перпендикулярно к
поверхности по ZP [16 ], была эквивалентна данным силам Q, R, S,
необходимо, чтобы эти последние были соответственно равны тем трем силам,
на которые мы только что разложили силу Р. Следовательно, мы получаем
следующие равенства :
<? = ^-Р, Р = и S = -^rP.
Так как мы нашли
Xz .... Yz
YM =--------и YN =-y~ *
то вследствие того, что YZ - z, мы будем иметь [17] :
YP = -j- ]rXX~+YY и ZP = - \ГХХ + YY + ZZ . Положим для сокращения
fXX~+YY + ZZ~ = W;
так как
то три найденных равенства заменяются такими :
Q = ~wp' R = -wp и s = ~wp-
Следовательно, три силы Q, R, S, которые действуют по направлениям трех
координат х, у, z, будут относиться как величины X, Y, Z, которые входят
в дифференциальное уравнение
X dx + Г dy + Z dz = 0,
выражающее вид поверхности. Что и требовалось найти.
VI. Задача III. Найти форму, которую примет жидкая масса, если на все
её частицы действуют какие-либо силы.
60
Л.ЭЙЛЕР
Решение. Пусть Z - точка на поверхности той жидкой массы, форму [18 ]
которой мы ищем, или, что сводится к тому же, речь идет о том, чтобы
найти уравнение, связывающее три координаты АХ = х, XY = у и YZ = z,
которое выражает вид поверхности данной жидкой массы. Пусть дифференциал
уравнения, которое мы ищем, будет
X dx + Y dy + Z dz = 0.
Теперь, какие бы силы ни действовали на точку Z, их можно будет свести к
силам вдоль наших трех координат. Итак, пусть Q будет сила, которая
действует в направлении, параллельном АХ; R - сила, которая действует в
направлении, параллельном XY, и S - сила, которая действует в направлении
FZ. Если так, то для равновесия жидкой массы необходимо, чтобы среднее
направление этих трех сил было перпендикулярно к поверхности. Поэтому,
если через Р обозначить силу, эквивалентную трем данным силам Q, R и S,
которая должна действовать перпендикулярно к поверхности, и положить для
сокращения W = У XX -j- YY + ZZ, то решение предыдущей задачи даст нам
следующие уравнения :
Q = ~~wp' R = ~wp' s = ~~wp-
Из этих уравнений мы находим
X=----(tm)-Q, Y = -^-R, Z=--?-S.
Если эти значения подставить в уравнение
Xdx+ Ydy + Zdz = О, которое должно выражать искомую форму, то мы получим
уравнение :
Qdx + Rdy + Sdz = 0.
Отсюда видно, что, зная силы Q, R, S, которые действуют на каждую точку
жидкой массы по направлениям трех координат х, у, z, нет ничего проще,
