Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Чр ~~ h (T - рЩЧ' ЧГ(Г ~ 4i " " (Гр ' " ii (1 '
Тогда U = Pc = v.
Скорость группы, фазовых волн точно равна скорости движущегося тела. Этот
результат требует одного замечания : в волновой теории дисперсии, если
исключить зоны поглощения, скорость энергии равна скорости группы.*)
Однако несмотря на то, что мы исходим здесь из совершенно другой точки
зрения, результат оказался совершенно таким же, так как скорость
движущегося тела и есть скорость перемещения энергии.
*) См., например, Ьёоп Brillouin, La theorie des quanta et l'atome de
Bohr, ch. 1.
65J
Л. ДЕ БРОЙЛЬ
III. Фазовая волна в пространстве-времени
Минковский первым показал, что, рассматривая евклидово многообразие в
четырех измерениях, так называемую вселенную, или пространство-время,
можно геометрически просто представить введенные Эйнштейном связи между
пространством и временем. Для этого он брал три оси в прямоугольных
координатах пространства и четвертую ось, нормальную к трем первым, на
которую наносились значения времени, умноженные на с У- 1. Сейчас принято
относить к четвертой оси вещественное значение ct, но в этом случае
плоскости, проходящие через эту ось и нормальные к пространству, будут
иметь гиперболическую псевдоевклидову геометрию, основной инвариант
которой будет c2dt2- dx2 - dy2- dz2.
ct ct'
Рассмотрим таким образом пространство-время, отнесенное к четырем
прямоугольным осям так называемого "неподвижного" наблюдателя. Примем за
ось х прямолинейную траекторию движущегося тела и нанесем на график
плоскость Otx, содержащую ось времени и вышеназванную траекторию. В этих
условиях мировая линия движущегося тела представлена прямой, находящейся
под углом не меньше 45° к оси времени ; зта линия является к тому же осью
времени для наблюдателя, связанного с движущимся телом. На нашем графике
две оси времени проходят через нуль, что не ограничивает общности
рассуждений.
Если скорость движущегося тела для неподвижного наблюдателя равна
fic, то наклон OV будет иметь значение ~. Прямая Ох' расположена в
плоскости Юх пространства наблюдателя, начинающегося с времени t = О,
¦симметрично к Ot' относительно биссектрисы OD; это легко показать
аналитически с помощью преобразования Лоренца, но это является также
прямым результатом того факта, что предельная скорость энергии с имеет
одинаковое значение для всех систем отсчета. Наклон Ох' равен, таким
образом, /3. Если пространство, окружающее движущееся тело, является
местом периодического явления, то состояние пространства будет
повторяться для перемещающегося наблюдателя каждый раз, когда пройдет
время
у О А - y А В, равное собственному периоду явления Т0 = ~ •
Прямые, параллельные Ох', являются, таким образом, следами "равно-фазных
пространств" наблюдателя, смещающегося на плоскости xOt. Точки ... а', О,
а, .... прёдставляют собой проекцию их пересечений с пространством
неподвижного наблюдателя в момент t - 0; зти пересечения двух пространств
с тремя измерениями являются двумерными поверхностями и даже плоскостями,
потому что все рассматриваемые здесь пространства ¦евклидовы. Сечение
пространства-времени, которое для неподвижного наблюдателя является
пространством, с течением времени будет представляться прямой,
параллельной Ох и равномерно смещающейся по направлению возрастающих t.
Легко видеть, что равнофазные плоскости ... а', О, а, ...
смешаются в пространстве неподвижного наблюдателя со скоростью -j .
Действительно, если прямая Ох' на рис. 1 представляет собой пространство
¦неподвижного наблюдателя при t = 1, то = с. Фаза, которая при t = О
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КВАНТОВ
651
находилась в а, теперь находится в аг; таким образом, она сместилась в
пространстве неподвижного наблюдателя на длину а0аг в направлении Ох за
единицу времени. Можно, таким образом, сказать, что ее скорость будет
V = а" а-г = а" a ctg (хОх') = ~ .
Ансамбль равнофазных плоскостей представляет собой так называемую фазовую
волну.
Остается рассмотреть вопрос о частотах. Начертим опять небольшой
упрощенный рисунок.
Прямые / и 2 представляют собой для связанного с ними наблюдателя два
последовательных равнофазных пространства. Как было сказано, АВ в с раз
больше собственного периода 70 = .
АС, являющаяся проекцией А В на ось Ot, равна
СТл = СТа
Это является результатом простого применения тригонометрических
соотношений ; однако следует отметить, что, применяя тригонометрию к
фигурам плоскости xOt, следует всегда помнить об анизотропии,
свойственной этой плоскости.
Треугольник АБС дает
АВ2 = АС2 - СЁР = АС2 (1 - tg2 CAB) = AC2(1 - /З2),
AC =
А в
У Г-Т72
что и требовалось доказать.
Частота ~ представляет собой ту частоту периодического явления, кото-* 1
рую отмечает неподвижнрый наблюдатель, следящий за смещением этого
периодического явления, а именно :
v1 = voy\ - Р2
Период волн в одной точке пространства для неподвижного наблюдателя
выражается не величиной ~ АС, а величиной -У- AD . Произведем расчет
