Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
для L.
Перейдем теперь к принципу наименьшего действия в форме Мопертюи. Для
этого заметим сначала, что уравнения Лагранжа в своей общей форме,
приведенной выше, допускают первый интеграл, так называемую "энергию
системы", равную
при условии, однако, что функция L не зависит явно от времени, что мы и
будем предполагать в дальнейшем. Действительно, при этом получаем
<5 j' L dt = 0.
L = Е,
кин
'ПОТ •
dW
dt
что согласно уравнениям Лагранжа равно нулю. Таким образом,
W = const.
654
Л. ДЕ БРОЙЛЬ
Применим теперь принцип Гамильтона ко всем "варьированным" траекториям,
которые переводят систему из начального состояния А в конечное состояние
В и которые соответствуют определенному значению энергии W. Поскольку W,
1г и t2 - константы, можно написать
д \*Ldt = d $'(L + W)dt = О,
ь /i
или
д f ~qtdt = д ? V-|L dq; = 0,
J ^ 09i J - a,,
причем последний интеграл распространяется на все значения <?, в пределах
между значениями, определяющими состояния А и В, таким образом, чтобы
время при этом исключалось. Тогда для полученной новой формы не
приходится вводить никаких ограничений, относящихся ко времени. Однако
варьированные траектории должны всегда соответствовать одному и тому же
значению W энергии.
Согласно классической записи канонических уравнений примем : /7, =
О г
= -7^7. Импульсы Pi являются каноническими сопряженными переменных qi.
Принцип Мопертюи напишется в классической динамике так:
61 2 р> dq'= 0 '
A i
где L = Екии - ?Пот, причем Епот не зависит от q,, а Екин является
однородной квадратичной функцией ф. В силу теоремы Эйлера
v Pi dq( = 2 Pi 4i dt = 2 EK"" dt.
i i
Для материальной точки Еккн = -у пгг;2 , и принцип наименьшего действия
принимает форму, которая была известна ранее всех других:
б J mv dl = 0,
А
где dl-элемент траектории.
III. Два принципа наименьшего действия в динамике электрона
Вернемся к вопросу динамики электрона с релятивистской точки зрения..
Слово "электрон" следует понимать в общем смысле как материальную точку;
обладающую электрическим зарядом. Предположим, что электрон, помещенный
вне поля, обладает собственной массой т0; его электрический заряд
обозначается через е.
Рассмотрим снова пространство-время ; пространственные координаты
обозначим через х1, х2 и х3; координату ct через х4. Основной инвариант -
"элемент длины" - выражается соомношением
ds = f(dx1)2 - (dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2.
В этом и в следующих параграфах мы постоянно будем применять некоторые
обозначения тензорного исчисления.
Мировая линия в каждой точке имеет касательную, направление которой
определяет вектор мировой скорости, длина которого равиа единице
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КВАНТОВ
655
и контравариантные составляющие которого даются соотношением
dx' ds
Отсюда следует, что uiui = 1.
Представим себе движущееся тело, описывающее мировую линию; при
прохождении через рассматриваемую точку скорость его равна v = /Зс с
компонентами vx, vy, v.. Компоненты мировой скорости будут
иг - - и1 =-----. г' , и2= -и2 =--------------,
с} 1 -Д2 с у 1 - (S3
"о = - а3 =-----, г~ , н4 = а4 = -- .
3 сУ1-/?3 4 У1 - /З2
Чтобы определить электромагнитное поле, следует при помощи уравнений
fi = - <рг = - ах; ч>2 = - 9>2 = -аУ; <р3 =-Vs =-az; <р* = f4 =
ввести второй мировой вектор, компоненты которого равны функциям вектор-
потенциала а и скалярного потенциала у.
Рассмотрим теперь две точки Р и Q пространства-времени, соответствующие
заданным значениям координат пространства'и времени. Можно рассматривать
криволинейный интеграл, взятый по мировой линии, идущей от Р к Q ;
интегрируемая функция, естественно, должна быть инвариантной. Положим,
что
я .Я
f (-т0 с - в <fj и1) ds = \ (-т0 си( - е yt) и1 ds
р р
является этим интегралом. Принцип Гамильтона утверждает, что если мировая
линия движущегося тела проходит через Р и Q, то она имеет такую форму,
для которой определенный выше интеграл имеет стационарное значение.
С помощью соотношения
У, = т0 cut + е w (/ = 1, 2, 3, 4)
определим третий мировой вектор. Принцип наименьшего действия примет вид
<5 f (Ji dx1 + у, dx2 + J3 dx3 + Л dx*) = 6 f yf dx1 = 0.
p p
Несколько далее мы раскроем физический смысл мирового вектора J.
Пока вернемся к обычной форме уравнений динамики, заменив в первой форме
интеграла действия величину ds на с dt f 1 - /З2.
Таким образом получаем
д j [-'то с2 fl - Р2 - е с 4>i - е {ч>1 Vx + Уг Vy + у3 vz)] dt = 0,
f,
где tx и /2 соответствуют точкам Р и Q пространства-времени.
Если существует чисто электростатическое поле, то величины <р17 yz, <р3
равны нулю и функция Лагранжа примет часто употребляемую форму
L = -m0c2fi -/З2 - еу.
656
Л. ДЕ БРОЙЛЬ
и
Поскольку во всех случаях принцип Гамильтона имеет форму 5 j L dt = О, он
всегда приводит к уравнениям Лагранжа : ^
Во всех случаях, в которых потенциалы не зависят от времени, мы снова
встречаемся с принципом сохранения энергии
W - -L + ^ pt <7, = const , pi = (i = 1, 2, 3).
Рассуждая так же, как это было сделано выше, приходим к принципу Мопертюи
