Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
и заряде электрона, даже если известны поля. Это бесспорное заключение
может с первого взгляда показаться странным, потому что мы обычно
привыкли рассматривать массу и заряд (так же как количество движения и
энергию) как величины, связанные с центром электрона. Таким же образом
распространение в поле фазовой волны, которую, по нашему мнению, следует
считать основной составной частью электрона, должно зависеть от заряда и
массы.
Напомним теперь результаты, полученные в предыдущей главе для случая
равномерного движения. Там нам пришлось рассматривать фазовую волну как
результат пересечений пространством неподвижного наблюдателя прошедших,
настоящих и будущих пространств перемещающегося
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КВАНТОВ
661
наблюдателя. Мы могли бы попытаться вновь найти данное выше значение V,
исследуя последовательные "фазы" движущегося тела и устанавливая смещение
для неподвижного наблюдателя сечений его пространства состояниями равных
фаз.
К сожалению, мы сталкиваемся здесь с большими трудностями. Теория
относительности не дает нам определенного указания на то, каким образом
наблюдатель, увлекаемый неравномерным движением, отсекает в каждый момент
свое пространство в пространстве-времени ; по-видимому, нет оснований
считать это сечение плоским, как в случае равномерного движения. Но даже
если бы эта трудность была преодолена, мы все равно были бы в
затруднении. Действительно, тело, движущееся равномерно, должно описывать
одинаковую кривую для связанного с ней наблюдателя независимо от скорости
равномерного движения по отношению к осям отсчета; это следует из
принципа, что галилеевские оси, совершающие друг по отношению к другу
движение равномерного переноса, эквивалентны. Если наше равномерно
движущееся тело окружено для связанного с ним наблюдателя периодическим
явлением, имеющим повсюду одну и ту же фазу, то это же должно иметь место
для всех скоростей равномерного движения и это оправдывает наш метод,
изложенный в первой главе. Но если движение неравномерно, то описание
движущегося тела, сделанное связанным с ним наблюдателем, не может быть
таким же; мы совершенно не можем сказать, как он определит периодическое
явление и припишет ли он ему одну и ту же фазу в любой точке
пространства.
Может быть, можно подойти к проблеме с другого конца - принять
результаты, полученные в этой главе из совершенно других соображений, и
попытаться вывести из них, каким образом, теория относительности должна
рассматривать вопросы переменного движения, чтобы прийти к таким же
заключениям. Мы не можем заниматься этой трудной проблемой.
в) Рассмотрим общий случай движения электрона в электромагнитном поле.
Мы имеем:
й*= W = ^^= + ey>.
У1 -
Кроме того, мы показали выше, что следует положить
та vx ,
Р*=уг^ + Мх и т-д"
где ах, ау и аг - компоненты вектор-потенциала. Таким образом,
1 -i-1 j i л , € л vdl
- S Pi dQi = т/- - atdl = -.
/г Y h Y1- /S2 h 1 V
Отсюда находим
'"о с2 ,
Yi - Д2 + еу> с w !
тоРс +eai (S W~ew i+e_ai>
Г -Г CUl i Т С
Y1 -/?2 G
где G - количество движения, аа, - проекция вектор-потенциала на
направление I. Среда в каждой точке уже неизотропна. Скорость V
изменяется в зависимости от рассматриваемого направления, а скорость
движущегося тела v уже не совпадает по направлению с нормалью к фазовой
волне, определяемой вектором р = hn. Луч не совпадает более с нормалью
волны - классическое заключение для оптики анизотропных сред.
662
Л. ДЕ БРОЙЛЬ
Можно спросить, что будет с теоремой равенства скоростей движущегося тела
и группы фазовых волн: v = fic.
Заметим сначала, что .скорость V фазы, вдоль луча, определяется
соотношением
\ 2 Pi dq1 =\2Pi%dl = ^dl-,
V 1 ,,
-у не равно у р, потому что здесь dl и р не имеют одного и того же
направления.
Мы можем, не нарушая общности, принять за ось х направление движения тела
в рассматриваемой точке и проекцию вектора р на это направление назвать
рх. Тогда, по определению, имеем
V_______ 1
у - Y Рх-
Первое из канонических уравнений дает равенство
j[g = Ж = _?(М - и
L dt РС> дРх U'
где U - скорость группы, следующей за лучем.
Результат раздела II первой главы является, таким образом, совершенно
общим и вытекающим непосредственно из первой группы уравнений Гамильтона.
Глава III
КВАНТОВЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТРАЕКТОРИЙ
I. Условия устойчивости Бора-Зоммерфельда
В своей теории атома Бор впервые высказал предположение, что из числа
замкнутых траекторий, описываемых электроном вокруг положительного
центра, только некоторые устойчивы, другие же либо не реализуются в
природе, либо настолько неустойчивы, что их не стоит принимать в расчет.
Ограничиваясь круговыми орбитами, имеющими только одну степень свободы,
Бор выдвинул следующее условие: Устойчивыми являются только такие
круговые орбиты, для которых момент количества движения является
целым кратным , где h - константа Планка. Это можно записать
в виде
т0со№ = п ~ (п - целое число),
или
2л
J pedd = nh, о
