Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
Третье отличие кинематики в евклидовом пространстве-времени от кинематики в пространстве-времени Галилея состоит в том, что в отличие от пространства-времени Галилея, в котором аддитивны скорости наблюдателей, в евклидовом пространстве-времени аддитивными величинами являются не скорости наблюдателей (систем отсчета) Vk, а углы наклона соответствующих им мировых линий, т.е. ak = arctg (dk/c0).
Аналогично (6), (6а) уравнение движения j - того наблюдателя относительно системы отсчета K запишется
Итак, скорости i - того и j - того наблюдателя относительно некоторой системы отсчета K равны V и Vj соответственно. Тогда скорость j - того
наблюдателя, dst = ^/dx2 + c^dt2 - модуль интервала («расстояние» в евклидовом
(7)
(7а)
42
наблюдателя относительно i - того наблюдателя (скорость j - того наблюдателя в системе отсчета i - того наблюдателя) определяется углом между мировыми линиями i - того и j - того наблюдателей в той системе отсчета (координат) K, в которой определены скорости V и Vj
а величина относительной скорости Vji получится взятием тангенса от обеих частей соотношения (8):
Если же в некоторой ИСО задана скорость i - того наблюдателя V и известна скорость j - того наблюдателя в системе отсчета i - того наблюдателя
V]t, то скорость j - того наблюдателя в той же ИСО, в которой определена скорость i - того наблюдателя последует из соотношения
где ам - угол между мировыми линиями наблюдателей.
Четвертое отличие кинематики в евклидовом пространстве-времени от кинематики в пространстве-времени Галилея состоит в определении относительной скорости. В пространстве-времени Галилея величина относительной скорости наблюдателей не зависит от выбора той инерциальной системы отсчет, в которой исходно эти скорости определены. В евклидовом пространстве-времени, в силу (9), величина относительной скорости i - того и j - того наблюдателя зависит от того, относительно какой системы отсчета исходно определены V и Vj.
Учет очевидного факта - связи угла a между мировой линией i - того наблюдателя и осью времени системы координат со скоростью его движения V (в той системе отсчета, в которой задана система координат) позволяет переход из одной ИСО в другую, движущуюся со скоростью Vi относительно первой, геометрически интерпретировать как поворот евклидовой системы координат пространства-времени на угол a = arctg(Wjc0).
Сказанное иллюстрируется Рис. 1. Здесь система координат (x,c0t) представляет исходную систему отсчета (K), относительно которой движутся наблюдатели, мировые линии которых обозначены i (скорость V) и j (скорость Vj).
aji = aj - a,
(8)
(9)
aj = a + cXji
(10)
в виде
(ii)
43
Тогда интервал времени dt в системе отсчета K для наблюдателей, движущихся относительно K со скоростями V и V,, трансформируется в интервалы (dxi,dst) и [dx,,dsj) соответственно.
§И наоборот: промежуткам собственного времени в собственных системах отсчета i -того и j - того наблюдателей drt = ds^c0 и
dT, = fifej/c0 - интервалам (0,dst) и (0,dsj) -соответствуют интервалы (dxt (V ),c0dt (V)) и ('(V),c0dt(Vj) в системе отсчета K.
Из рисунка видно также то, как интервал (0, dsj) в системе отсчета j - того наблюдателя
* трансформируется в интервал (, cdt'j) в
системе отсчета i - того наблюдателя — в системе координат (x, c/): dx] = VJldt'J, где VM -относительная скорость j - того и i - того
Рис. 1
наблюдателей.
Измерения, как и ранее, осуществляются в «абсолютных» шкалах.
Рассмотрим то, как преобразуются собственное время и пространственный интервал i - того наблюдателя при изменении его скорости Vt при фиксированном временном интервале cdt (cdt = const) в системе отсчета K.
Из теоремы Пифагора (см. Рис. 1) следует очевидное соотношение
cldt2 =-(dx2 (Vi) - ds2 (Vi)). (12)
Но скобка в правой части (12) — псевдоскалярный квадрат вектора (dxi, dsi). Очевидным решением функционального уравнения (12) являются
dxt (V ) = cdt sh (Vl/c0), (13a)
ds, (V) = cdtch (Vt/c0). (136)
И вновь, как это было в [2], имеют место гиперболические преобразования интервалов при переходе от одной инерциальной системе отсчета к другой, но теперь даже в отсутствие сигналов с конечной скоростью распространения!
Важно подчеркнуть, что инерциальная система отсчета K ничем не отличается от любой другой инерциальной системы отсчета.
Соотношения (13) получены преобразованием интервала ds = (0,c0dt) в системе отсчета K - в интервал dst =((, c0dTl) - представление из системы отсчета K о пройденном расстоянии dxi и «собственном» времени dTt наблюдателя, движущегося со скоростью Vt относительно системы отсчета K на протяжении времени dt. Кратко об этом преобразовании будем говорить как о преобразовании перехода из системы отсчета K в систему отсчета Kt.
44
В общем случае, когда в системе отсчета K интервал имеет вид ds = (dx, c0dt), то соответствующий ему интервал в системе отсчета Kt запишется в виде:
- матрица гиперболического поворота, которая заменой Vjc0 ^ arcth (Vjc0) сводится к преобразованиям Лоренца.
Из аксиомы группы G(vj) = G(vj)G(Vi) о наличии одного преобразования,
